Trójkąty: rodzaje i konstrukcja z trzech boków

Trójkąt to figura geometryczna złożona z trzech boków, trzech wierzchołków i trzech kątów. Boki są odcinkami, które łączą się końcami i zamykają figurę.

Trójkąty spotykamy bardzo często w życiu codziennym. Mają kształt znaków drogowych, elementów dachów, ramek i podpórek. Są ważne, bo są figurami prostymi, ale mają wiele ciekawych własności.

Każdy trójkąt można opisywać na dwa sposoby:

• ze względu na długości boków,
• ze względu na rodzaje kątów.

Gdy porównujemy długości boków, wyróżniamy trzy główne rodzaje trójkątów.

Trójkąt równoboczny ma wszystkie trzy boki równe. Jest bardzo regularny i „symetryczny”.

Trójkąt równoramienny ma dwa boki równe. Te równe boki nazywamy ramionami, a trzeci bok to podstawa.

Trójkąt różnoboczny ma wszystkie boki różne. Żaden bok nie ma tej samej długości co inny.

W zadaniach trzeba uważnie czytać dane. Jeśli dwa boki są równe, to trójkąt jest równoramienny. Jeśli trzy są równe, to bardziej dokładnie mówimy: równoboczny.

Gdy patrzymy na kąty, także wyróżniamy trzy rodzaje trójkątów.

Trójkąt ostrokątny ma wszystkie kąty ostre, czyli każdy z nich jest mniejszy niż $90^\circ$.

Trójkąt prostokątny ma jeden kąt prosty, czyli równy $90^\circ$.

Trójkąt rozwartokątny ma jeden kąt rozwarty, czyli większy niż $90^\circ$.

Jeden trójkąt można opisać jednocześnie na dwa sposoby, na przykład: równoramienny i prostokątny albo różnoboczny i ostrokątny.

Bardzo ważna własność mówi, że suma kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi zawsze $180^\circ$.

Dzięki temu można obliczać brakujący kąt. Wystarczy dodać dwa znane kąty, a potem odjąć ich sumę od $180^\circ$.

Przykład myślenia:

• jeśli dwa kąty mają $50^\circ$ i $60^\circ$,
• to ich suma wynosi $110^\circ$,
• więc trzeci kąt ma $180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

Ta zasada pomaga też rozpoznać rodzaj trójkąta. Jeśli jeden kąt ma $90^\circ$, to trójkąt jest prostokątny. Jeśli jeden ma więcej niż $90^\circ$, to jest rozwartokątny.

Nie z każdych trzech odcinków można utworzyć trójkąt. Musi być spełniona ważna zasada: suma długości każdych dwóch boków musi być większa od długości trzeciego boku.

To znaczy, że dwa krótsze boki razem muszą „dosięgnąć” dalej niż trzeci bok. Jeśli są za krótkie, figura się nie zamknie.

Sprawdzanie warto robić krok po kroku:

• porównaj sumę dwóch boków z trzecim,
• sprawdź to dla różnych par boków,
• jeśli warunek jest spełniony, trójkąt można zbudować.

Dla boków $4$ cm, $5$ cm i $6$ cm trójkąt istnieje, bo każda suma dwóch boków jest większa od trzeciego. Dla boków $2$ cm, $3$ cm i $6$ cm trójkąt nie istnieje, bo $2 + 3 = 5$, a to mniej niż $6$.

Jeśli znamy trzy długości boków, możemy wykonać konstrukcję trójkąta. Potrzebne są zwykle linijka i cyrkiel.

Przebieg konstrukcji:

• rysujemy jeden bok jako odcinek, na przykład podstawę,
• ustawiamy cyrkiel na długość drugiego boku i rysujemy łuk z jednego końca podstawy,
• ustawiamy cyrkiel na długość trzeciego boku i rysujemy drugi łuk z drugiego końca podstawy,
• punkt przecięcia łuków to trzeci wierzchołek trójkąta,
• łączymy ten punkt z końcami podstawy.

Jeśli łuki się nie przecinają, to znaczy, że z takich długości nie da się zbudować trójkąta. Jeśli się przetną, konstrukcja jest możliwa.

W niektórych przypadkach łuki mogą przeciąć się w dwóch miejscach: nad podstawą i pod podstawą. Otrzymujemy wtedy dwa trójkąty będące lustrzanym odbiciem.