Kąty wierzchołkowe i przyległe

Kąt to figura utworzona przez dwie półproste mające wspólny początek. Ten wspólny punkt to wierzchołek kąta, a półproste to ramiona kąta. Miarę kąta podajemy w stopniach, na przykład $30^\circ$, $90^\circ$ albo $150^\circ$.

W zadaniach bardzo ważne jest uważne patrzenie na rysunek. Czasem trzeba rozpoznać, czy kąty leżą obok siebie, czy naprzeciwko siebie. To właśnie pomaga odróżnić kąty przyległe od wierzchołkowych.

Kąty przyległe to dwa kąty, które mają wspólny wierzchołek i jedno wspólne ramię. Ich pozostałe ramiona tworzą jedną prostą linię. Dlatego razem tworzą kąt półpełny, czyli kąt o mierze $180^\circ$.

Najważniejsza własność jest taka, że suma miar kątów przyległych zawsze wynosi $180^\circ$. Jeśli jeden kąt ma $50^\circ$, to drugi ma $130^\circ$, bo $50^\circ+130^\circ=180^\circ$.

Do obliczeń używamy prostego działania:

• drugi kąt $=180^\circ-$ pierwszy kąt
• jeśli jeden ma $x$, drugi ma $180^\circ-x$

Kąty wierzchołkowe powstają wtedy, gdy przecinają się dwie proste. Są to kąty leżące naprzeciwko siebie. Mają ten sam wierzchołek, ale nie mają wspólnego ramienia.

Najważniejsza własność kątów wierzchołkowych: ich miary są równe. Jeżeli jeden z nich ma $115^\circ$, to kąt naprzeciwko też ma $115^\circ$.

Przy przecięciu dwóch prostych powstają cztery kąty:

• dwa kąty wierzchołkowe o jednej mierze
• dwa pozostałe kąty wierzchołkowe o drugiej mierze

Zwykle jedna para jest większa, a druga mniejsza. Jeśli znamy jeden kąt, możemy obliczyć wszystkie pozostałe.

Najprościej zadać sobie dwa pytania.

Jeśli kąty leżą obok siebie i mają jedno wspólne ramię, to są to kąty przyległe. Wtedy sprawdzamy, czy ich suma daje $180^\circ$.

Jeśli kąty leżą naprzeciwko siebie przy przecięciu prostych, to są to kąty wierzchołkowe. Wtedy ich miary są takie same.

Częsty sposób rozwiązywania zadań:

• najpierw znajdź kąt wierzchołkowy, jeśli jest naprzeciwko
• albo oblicz kąt przyległy przez odjęcie od $180^\circ$
• potem wykorzystaj wynik do policzenia innych kątów

Jeżeli jeden kąt przy przecięciu prostych ma $40^\circ$, to kąt wierzchołkowy do niego też ma $40^\circ$. Dwa kąty przyległe do niego mają po $140^\circ$, bo $180^\circ-40^\circ=140^\circ$.

Jeżeli jeden kąt ma $98^\circ$, to kąt naprzeciwko ma także $98^\circ$. Pozostałe dwa kąty mają po $82^\circ$, ponieważ są przyległe do kąta $98^\circ$.

W zadaniach z literami postępujemy podobnie. Gdy kąty są wierzchołkowe i mają miary $x$ oraz $67^\circ$, to od razu wiemy, że $x=67^\circ$. Gdy są przyległe i mają miary $x$ oraz $67^\circ$, zapisujemy $x+67^\circ=180^\circ$.

Najczęstszy błąd to patrzenie tylko na liczby, a nie na położenie kątów. Trzeba najpierw rozpoznać, czy kąty są przyległe, czy wierzchołkowe.

Uczniowie czasem błędnie zakładają, że każdy kąt obok innego jest równy. To nieprawda. Kąty obok siebie, czyli przyległe, zwykle nie są równe, tylko dają razem $180^\circ$.

Inny błąd to mylenie kąta prostego z półpełnym:

• kąt prosty ma $90^\circ$
• kąt półpełny ma $180^\circ$

Przed oddaniem zadania warto sprawdzić, czy wynik jest sensowny. Jeśli kąty przyległe po dodaniu nie dają $180^\circ$, to gdzieś jest pomyłka.