÷×

Proste prostopadłe i równoległe

Matematyka

Zestaw pomaga zrozumieć, czym są proste równoległe i prostopadłe oraz jak je rozpoznawać i rysować. Uczeń nauczy się też, co oznacza odległość punktu od prostej i jak poprawnie ją wyznaczać na rysunku.

10 fiszek18 pytań · 2 etapynotatkaSzkoła podstawowa

Pobierz test do druku

1.prosta

Prosta to linia, która nie ma początku ani końca. Można ją przedłużać w obie strony bez końca. Na rysunku pokazujemy tylko jej fragment.

2.odcinek

Odcinek to część prostej ograniczona dwoma punktami. Ma początek i koniec, więc można zmierzyć jego długość.

3.półprosta

Półprosta zaczyna się w jednym punkcie i biegnie bez końca w jednym kierunku.

4.proste równoległe

To proste, które leżą w jednej płaszczyźnie i nigdzie się nie przecinają. Odległość między nimi jest wszędzie taka sama.

5.proste prostopadłe

To proste, które przecinają się pod kątem prostym, czyli $90^\circ$ .

6.kąt prosty

Kąt prosty ma miarę $90^\circ$ . Gdy dwie proste przecinają się pod takim kątem, są prostopadłe.

7.znak prostopadłości

Znak prostopadłości to symbol $⟂$ ? Nie, w matematyce zapisujemy go jako $\perp$ . Na przykład: $a \perp b$ oznacza, że prosta $a$ jest prostopadła do prostej $b$ .

8.znak równoległości

Znak równoległości zapisujemy jako $\parallel$ . Na przykład: $k \parallel l$ oznacza, że prosta $k$ jest równoległa do prostej $l$ .

9.odległość punktu od prostej

To długość najkrótszego odcinka łączącego punkt z prostą. Ten odcinek musi być prostopadły do prostej.

10.rzut prostokątny punktu na prostą

To punkt przecięcia prostej z odcinkiem poprowadzonym z danego punktu prostopadle do tej prostej. Pomaga wyznaczyć odległość punktu od prostej.

Notatka

1. Prosta, odcinek i półprosta

Prosta to linia, która nie ma początku ani końca. Na kartce widzimy tylko jej fragment, ale w matematyce zakładamy, że biegnie bez końca w obie strony. Odcinek to część prostej ograniczona dwoma punktami, więc można zmierzyć jego długość. Półprosta ma jeden początek i biegnie bez końca w jednym kierunku.

Te pojęcia łatwo pomylić, dlatego trzeba zwracać uwagę, czy figura ma końce. Jeśli ma dwa końce, to jest to odcinek. Jeśli ma jeden początek, to jest to półprosta. Jeśli nie ma końców, mówimy o prostej.

Ważne

Na rysunku szkolnym widzisz tylko fragment prostej, ale sama prosta nie kończy się na brzegu kartki.

2. Proste równoległe

Proste równoległe to takie proste, które leżą w jednej płaszczyźnie i nigdy się nie przecinają. Zapisujemy to znakiem $\parallel$ . Jeśli prosta $a$ jest równoległa do prostej $b$ , piszemy: $a \parallel b$ .

Dobrym przykładem z życia są tory kolejowe, brzegi zeszytowych linii albo przeciwległe boki prostokąta. Ważna własność jest taka, że odległość między prostymi równoległymi jest wszędzie taka sama.

Gdy rysujesz proste równoległe, powinny one biec obok siebie w tym samym kierunku. Nie mogą się przecinać nawet po przedłużeniu.

Równoległość nie zależy od długości narysowanego fragmentu. Nawet jeśli jedna prosta na rysunku jest dłuższa, a druga krótsza, nadal mogą być równoległe.

3. Proste prostopadłe

Proste prostopadłe to takie proste, które przecinają się pod kątem prostym. Kąt prosty ma miarę $90^\circ$ . Zapisujemy to znakiem $\perp$ . Jeśli prosta $k$ jest prostopadła do prostej $l$ , piszemy: $k \perp l$ .

Najłatwiejszy przykład to róg kartki, rama okna albo pionowa i pozioma krawędź tablicy. Kiedy dwie proste tworzą kąt prosty, mówimy, że są prostopadłe.

Do sprawdzania i rysowania prostopadłości bardzo przydaje się ekierka. Można też użyć kątomierza, aby sprawdzić, czy powstał kąt $90^\circ$ .

Zapamiętaj

Jeśli dwie proste przecinają się pod kątem $90^\circ$ , to są prostopadłe. Jeśli się nie przecinają, mogą być równoległe.

4. Jak rozpoznawać i rysować takie proste

Przy rozpoznawaniu prostych warto najpierw zadać sobie pytanie: czy proste się przecinają? Jeśli nie, mogą być równoległe. Jeśli tak, trzeba sprawdzić, jaki tworzą kąt. Gdy jest to $90^\circ$ , proste są prostopadłe.

Przy rysowaniu prostych równoległych często używa się linijki i ekierki. Przy rysowaniu prostych prostopadłych wygodnie jest przyłożyć ekierkę tak, by utworzyć kąt prosty.

Częsty błąd polega na tym, że uczeń patrzy tylko „na oko”. Rysunek może wyglądać poprawnie, ale dopiero użycie przyrządów pokazuje, czy proste naprawdę są równoległe albo prostopadłe.

Przykład

Jeśli jedna linia jest pionowa, a druga pozioma i przecinają się, to zwykle tworzą proste prostopadłe.

5. Odległość punktu od prostej

Odległość punktu od prostej to długość najkrótszego odcinka, który łączy ten punkt z prostą. Ten odcinek musi być prostopadły do prostej. Nie wybieramy więc dowolnej kreski, tylko taką, która pada na prostą pod kątem $90^\circ$ .

Jeśli punkt leży już na prostej, jego odległość od prostej wynosi $0$ . Gdy punkt jest poza prostą, trzeba z tego punktu poprowadzić odcinek prostopadły do prostej i dopiero jego długość zmierzyć.

Miejsce, w którym ten odcinek spotyka się z prostą, można traktować jako „najbliższy punkt” na tej prostej. Dzięki temu wiadomo, gdzie mierzyć.

Ważne

Odcinek ukośny łączący punkt z prostą zwykle nie oznacza odległości punktu od prostej.

6. Najczęstsze błędy i wskazówki

Najczęstszy błąd to mylenie prostych równoległych z prostopadłymi. Warto zapamiętać prostą zasadę: równoległe się nie przecinają, a prostopadłe przecinają się pod kątem $90^\circ$ .

Drugi częsty błąd dotyczy odległości punktu od prostej. Nie mierzymy pierwszego lepszego odcinka. Trzeba poprowadzić odcinek prostopadły, bo tylko on daje prawdziwą odległość.

Dobrze jest ćwiczyć na przykładach z otoczenia:

linie w zeszycie mogą przypominać proste równoległe,
narożnik stołu przypomina proste prostopadłe,
najkrótsza droga z punktu do linii to odcinek prostopadły.

Przed oddaniem zadania sprawdź, czy użyłeś właściwych znaków: $\parallel$ dla równoległości i $\perp$ dla prostopadłości. To pomaga zapisać odpowiedź jasno i poprawnie.