Wyrażenia arytmetyczne z ułamkami i liczbami ujemnymi

Wyrażenie arytmetyczne to zapis złożony z liczb, znaków działań i czasem nawiasów. Nie ma w nim znaku równości. Przykładami są: $4 + 3 \cdot 2$, $-5 + 1$ oraz $\frac{3}{4} - \frac{1}{2}$.

Aby obliczyć wartość takiego zapisu, trzeba znać kolejność działań. To bardzo ważne, bo ten sam zapis policzony w złej kolejności może dać zły wynik.

W wyrażeniach mogą występować liczby naturalne, ułamki zwykłe, ułamki dziesiętne i liczby ujemne. W klasach 4–6 uczymy się przede wszystkim sprawnie je rozpoznawać i poprawnie wykonywać działania.

W matematyce obowiązuje stała kolejność działań. Najpierw liczymy to, co jest w nawiasach. Potem wykonujemy mnożenie i dzielenie. Na końcu robimy dodawanie i odejmowanie. Jeśli mamy działania tego samego rodzaju, liczymy od lewej do prawej.

Przykład: w wyrażeniu $8 - 2 \cdot 3$ najpierw liczymy $2 \cdot 3 = 6$, a dopiero potem $8 - 6 = 2$. Gdyby ktoś najpierw odjął $8 - 2$, dostałby błędny wynik.

Nawias może całkowicie zmienić wynik. Porównaj:

• $8 - 2 \cdot 3 = 2$
• $(8 - 2) \cdot 3 = 18$

Dlatego przed obliczaniem warto spokojnie przeczytać całe wyrażenie i zaznaczyć, co trzeba policzyć najpierw.

Liczby ujemne to liczby mniejsze od zera, na przykład $-1$, $-4$, $-0{,}5$. Na osi liczbowej leżą na lewo od zera. Spotykamy je w życiu codziennym, na przykład przy temperaturze: $-6^\text{C}$ oznacza sześć stopni poniżej zera.

Gdy do liczby dodajemy liczbę ujemną, wynik zwykle się zmniejsza. Na przykład $5 + (-2) = 3$. To można rozumieć jak przesunięcie o $2$ w lewo na osi liczbowej.

Gdy odejmujemy liczbę ujemną, wynik rośnie. Na przykład $4 - (-3) = 7$. To częsty punkt trudności, dlatego trzeba uważać na dwa znaki obok siebie.

Warto też pamiętać o wartości bezwzględnej. Jest to odległość od zera. Dlatego $|-5| = 5$, a $|2| = 2$. Wynik wartości bezwzględnej nie jest ujemny.

Ułamek zwykły ma postać $\frac{a}{b}$, gdzie na górze jest licznik, a na dole mianownik. Ułamek pokazuje część całości, na przykład $\frac{1}{2}$ to połowa, a $\frac{3}{4}$ to trzy czwarte.

Ułamek dziesiętny zapisujemy z przecinkiem, na przykład $0{,}5$, $1{,}25$, $-0{,}7$. Często można zamieniać jeden zapis na drugi:

• $0{,}5 = \frac{1}{2}$
• $0{,}25 = \frac{1}{4}$
• $0{,}75 = \frac{3}{4}$

Przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków zwykłych trzeba zwykle mieć wspólny mianownik. Na przykład:

• $\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}$
• $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

W wyrażeniach można spotkać razem ułamki i liczby całkowite, na przykład $2 - \frac{1}{2}$ albo $-1 + 0{,}5$. Wtedy warto zamienić liczby na taki zapis, który jest dla nas najwygodniejszy.

Najlepiej działać krok po kroku. Najpierw sprawdzamy, czy są nawiasy. Potem wykonujemy mnożenie lub dzielenie, a dopiero na końcu dodawanie i odejmowanie. Przy każdym kroku dobrze jest zapisać wynik pośredni.

Jeśli w wyrażeniu są ułamki, pilnujemy wspólnego mianownika albo wygodnie zamieniamy ułamek zwykły na dziesiętny. Jeśli pojawiają się liczby ujemne, warto wyobrazić sobie ruch po osi liczbowej: dodawanie liczby ujemnej to ruch w lewo, a odejmowanie liczby ujemnej to ruch w prawo.

Przykład 1:

• $3 - \frac{1}{2} = 2{,}5$

Przykład 2:

• $-2 + \frac{1}{2} = -1{,}5$

Przykład 3:

• $6 - 2 \cdot (1 + 2)$
• najpierw nawias: $1 + 2 = 3$
• potem mnożenie: $2 \cdot 3 = 6$
• na końcu odejmowanie: $6 - 6 = 0$

Ważna jest dokładność. Jeden źle odczytany minus albo pominięty nawias może zmienić cały wynik.

Najczęstszy błąd to łamanie kolejności działań. Na przykład w wyrażeniu $7 - 2 \cdot 3$ nie wolno najpierw obliczyć $7 - 2$. Trzeba zacząć od mnożenia.

Drugi częsty błąd dotyczy liczb ujemnych. Uczniowie mylą dodawanie liczby ujemnej z odejmowaniem liczby ujemnej. Pamiętaj:

• $5 + (-2) = 3$
• $5 - (-2) = 7$

Trzeci błąd pojawia się przy ułamkach zwykłych. Nie można dodawać mianowników i liczników wprost w każdym przypadku. Trzeba zadbać o wspólny mianownik.

Dobrze jest też sprawdzać, czy wynik ma sens. Jeśli odejmujesz małą dodatnią liczbę od dużej dodatniej, wynik zwykle powinien być trochę mniejszy. Jeśli odejmujesz liczbę ujemną, wynik powinien wzrosnąć.