Ułamki zwykłe i dziesiętne – zamiana

Ułamek zwykły zapisujemy jako $\frac{a}{b}$. Liczba nad kreską to licznik, a liczba pod kreską to mianownik. Taki zapis pokazuje część całości, ale też wynik dzielenia. Na przykład $\frac{3}{4}$ oznacza trzy części z czterech równych części albo działanie $3 : 4$.

Ułamek dziesiętny zapisujemy za pomocą przecinka, na przykład $0{,}5$, $0{,}25$, $1{,}7$. Cyfry po przecinku oznaczają kolejno dziesiąte, setne i tysięczne. Dlatego $0{,}4$ to cztery dziesiąte, a $0{,}04$ to cztery setne.

W matematyce bardzo ważne jest, by rozumieć, że różne zapisy mogą oznaczać tę samą liczbę. Na przykład $\frac{1}{2}$, $\frac{5}{10}$ i $0{,}5$ mają tę samą wartość.

Są dwa najczęstsze sposoby. Pierwszy to dzielenie licznika przez mianownik. Jeśli chcesz zamienić $\frac{3}{4}$, wykonujesz działanie $3 : 4$ i otrzymujesz $0{,}75$.

Drugi sposób to rozszerzenie ułamka tak, by w mianowniku pojawiło się $10$, $100$ albo $1000$. Na przykład:

• $\frac{1}{2}=\frac{5}{10}=0{,}5$
• $\frac{3}{5}=\frac{6}{10}=0{,}6$
• $\frac{7}{20}=\frac{35}{100}=0{,}35$

Ten sposób jest szczególnie wygodny, gdy mianownik łatwo zamienić na jedną z liczb: $10$, $100$, $1000$. Wtedy przecinek ustawiamy zgodnie z liczbą zer w mianowniku.

Rozwinięcie dziesiętne skończone to takie, które ma skończoną liczbę cyfr po przecinku, na przykład $0{,}8$ albo $1{,}25$. Na tym etapie nauki najczęściej właśnie takie przykłady zamieniamy.

Najpierw patrzymy, ile cyfr stoi po przecinku. To podpowiada mianownik.

• jedna cyfra po przecinku oznacza mianownik $10$
• dwie cyfry po przecinku oznaczają mianownik $100$
• trzy cyfry po przecinku oznaczają mianownik $1000$

Przykłady:

• $0{,}7=\frac{7}{10}$
• $0{,}23=\frac{23}{100}$
• $0{,}125=\frac{125}{1000}$

Potem, jeśli się da, wykonujemy skracanie ułamka. Na przykład:

• $0{,}6=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$
• $0{,}25=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$
• $0{,}75=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}$

Rozszerzanie polega na pomnożeniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę. Skracanie polega na podzieleniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę większą od $1$. W obu przypadkach wartość ułamka się nie zmienia.

Przykłady rozszerzania:

• $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{5}{10}$
• $\frac{3}{5}=\frac{6}{10}$

Przykłady skracania:

• $\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$
• $\frac{20}{100}=\frac{1}{5}$

To bardzo przydaje się przy zamianie ułamków. Czasem najpierw wygodniej ułamek skrócić, a potem zamienić. Innym razem lepiej go rozszerzyć do mianownika $10$ lub $100$.

Jeśli masz $\frac{2}{5}$, możesz rozszerzyć go do $\frac{4}{10}$ i od razu zapisać jako $0{,}4$. Jeśli masz $\frac{50}{100}$, możesz skrócić go do $\frac{1}{2}$ i wiedzieć, że to $0{,}5$.

W liczbie dziesiętnej bardzo ważne jest miejsce każdej cyfry. W zapisie $0{,}47$ cyfra $4$ oznacza cztery dziesiąte, a cyfra $7$ oznacza siedem setnych. Cała liczba to czterdzieści siedem setnych, czyli $\frac{47}{100}$.

W zapisie $1{,}3$ mamy jedną całość i trzy dziesiąte. Można to zapisać jako $\frac{13}{10}$. Z kolei $2{,}05$ to dwie całości i pięć setnych, czyli $\frac{205}{100}$.

Dobre czytanie zapisu po przecinku pomaga uniknąć pomyłek. Liczby $0{,}4$, $0{,}04$ i $0{,}004$ nie są takie same. Oznaczają kolejno cztery dziesiąte, cztery setne i cztery tysięczne.

Warto zapamiętać kilka bardzo częstych zamian:

• $\frac{1}{2}=0{,}5$
• $\frac{1}{4}=0{,}25$
• $\frac{3}{4}=0{,}75$
• $\frac{1}{5}=0{,}2$
• $\frac{2}{5}=0{,}4$
• $\frac{3}{5}=0{,}6$

Częsty błąd polega na złym ustawieniu przecinka. Na przykład $\frac{7}{100}$ to nie $0{,}7$, tylko $0{,}07$. Trzeba pamiętać, że mianownik $100$ oznacza setne, więc po przecinku muszą być dwa miejsca.

Drugi częsty błąd to brak skrócenia wyniku. Zapis $0{,}5=\frac{5}{10}$ jest poprawny, ale często warto dopisać prostszą postać: $\frac{1}{2}$.

Przy sprawdzaniu odpowiedzi warto zadać sobie pytanie, czy wynik ma sens. Jeśli $\frac{1}{2}$ to połowa, to wynik powinien być między $0$ a $1$, a dokładniej równy $0{,}5$.