Równanie ogólne prostej

Równanie ogólne prostej na płaszczyźnie ma postać $Ax + By + C = 0$. Liczby $A$, $B$ i $C$ są rzeczywiste, przy czym $A$ i $B$ nie mogą być jednocześnie równe $0$. Taki zapis jest bardzo wygodny, bo pozwala opisać zarówno proste „zwykłe”, jak i proste pionowe oraz poziome.

Jeżeli wszystkie współczynniki równania pomnożymy przez tę samą liczbę różną od zera, otrzymamy to samo równanie tej samej prostej. Na przykład równania $2x-y+3=0$ i $4x-2y+6=0$ opisują tę samą prostą.

W liceum często przechodzi się między postacią ogólną a kierunkową. Jeśli w równaniu $Ax + By + C = 0$ mamy $B \neq 0$, można wyznaczyć $y$:

• $By=-Ax-C$
• $y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}$

Otrzymujemy wtedy postać $y=ax+b$, gdzie:

• $a=-\frac{A}{B}$ to współczynnik kierunkowy
• $b=-\frac{C}{B}$ to wyraz wolny

Współczynnik kierunkowy mówi o nachyleniu prostej do osi $Ox$. Gdy $a>0$, prosta rośnie, a gdy $a<0$, maleje. Jeśli $a=0$, prosta jest pozioma.

Bardzo ważne są dwa szczególne typy prostych.

Prosta pionowa ma równanie $x=k$, czyli w postaci ogólnej na przykład $x-3=0$. Jest równoległa do osi $Oy$. Nie ma współczynnika kierunkowego w postaci $y=ax+b$.

Prosta pozioma ma równanie $y=k$, czyli na przykład $y+2=0$. Jest równoległa do osi $Ox$ i ma współczynnik kierunkowy równy $0$.

W zadaniach maturalnych często trzeba rozpoznać te przypadki bez wykonywania wielu rachunków. Jeśli w równaniu nie występuje $y$, najczęściej jest to prosta pionowa. Jeśli nie występuje $x$, jest to prosta pozioma.

Aby sprawdzić, czy punkt $P(x_0,y_0)$ leży na prostej o równaniu $Ax + By + C = 0$, podstawiamy jego współrzędne do równania. Jeżeli otrzymamy prawdziwą równość, punkt należy do prostej.

Schemat jest prosty:

• podstaw $x=x_0$
• podstaw $y=y_0$
• oblicz wartość wyrażenia $Ax_0 + By_0 + C$
• jeśli wynik to $0$, punkt leży na prostej

Ta umiejętność pojawia się bardzo często przy zadaniach o przecięciu prostych, weryfikacji rozwiązań i układach równań. To także najprostszy sposób sprawdzenia, czy dobrze wyznaczyliśmy równanie prostej przechodzącej przez dany punkt.

Dwie proste mogą być przecinające się, równoległe albo pokrywające się. W praktyce szkolnej najczęściej analizuje się ich współczynniki.

Jeśli proste da się zapisać w postaci $y=a_1x+b_1$ oraz $y=a_2x+b_2$, to:

• gdy $a_1=a_2$ i $b_1 \neq b_2$, proste są równoległe
• gdy $a_1=a_2$ i $b_1=b_2$, to jest ta sama prosta
• gdy $a_1 \neq a_2$, proste przecinają się

Dla prostych w postaci ogólnej $A_1x+B_1y+C_1=0$ i $A_2x+B_2y+C_2=0$ równoległość rozpoznajemy po proporcjonalności współczynników przy $x$ i $y$. Prostopadłość można sprawdzić warunkiem $A_1A_2+B_1B_2=0$.

W zadaniach trzeba uważać, by nie pomylić prostych równoległych z pokrywającymi się. Same jednakowe współczynniki kierunkowe jeszcze nie wystarczą — trzeba sprawdzić też przesunięcie.

Równanie prostej można wyznaczyć na kilka sposobów. Jeśli znamy dwa punkty, najpierw obliczamy współczynnik kierunkowy:

• $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, gdy $x_1 \neq x_2$

Następnie korzystamy z postaci kierunkowej i podstawiamy współrzędne jednego punktu. Jeśli $x_1=x_2$, prosta jest pionowa i ma równanie $x=x_1$.

Punkt wspólny dwóch prostych wyznaczamy przez rozwiązanie układu równań liniowych. Otrzymana para liczb jest jedynym punktem wspólnym, jeśli proste się przecinają. Gdy układ jest sprzeczny, proste są równoległe, a gdy nieoznaczony — proste się pokrywają.

W typowych zadaniach maturalnych trzeba umieć:

• zapisać prostą przez dwa punkty
• wyznaczyć prostą równoległą do danej przez wskazany punkt
• znaleźć punkt przecięcia dwóch prostych
• przejść między postacią ogólną i kierunkową