Równanie ogólne prostej

Równanie ogólne prostej na płaszczyźnie ma postać $Ax + By + C = 0$. Liczby $A$, $B$ i $C$ są rzeczywiste, przy czym $A$ i $B$ nie mogą być jednocześnie równe $0$. Taki zapis jest bardzo wygodny, bo pozwala opisać zarówno proste „zwykłe”, jak i proste pionowe oraz poziome.

Jeżeli wszystkie współczynniki równania pomnożymy przez tę samą liczbę różną od zera, otrzymamy inne równanie tej samej prostej. Na przykład równania $2x-y+3=0$ i $4x-2y+6=0$ opisują tę samą prostą.

W liceum często przechodzi się między postacią ogólną a kierunkową. Jeśli w równaniu $Ax + By + C = 0$ mamy $B \neq 0$, można wyznaczyć $y$:

• $By=-Ax-C$
• $y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}$

Otrzymujemy wtedy postać $y=ax+b$, gdzie:

• $a=-\frac{A}{B}$ to współczynnik kierunkowy
• $b=-\frac{C}{B}$ to wyraz wolny

Współczynnik kierunkowy mówi o nachyleniu prostej do osi $Ox$. Gdy $a>0$, prosta rośnie, a gdy $a<0$, maleje. Jeśli $a=0$, prosta jest pozioma.

Bardzo ważne są dwa szczególne typy prostych.

Prosta pionowa ma równanie $x=k$, czyli w postaci ogólnej na przykład $x-3=0$. Jest równoległa do osi $Oy$. Nie ma współczynnika kierunkowego w postaci $y=ax+b$.

Prosta pozioma ma równanie $y=k$, czyli na przykład $y+2=0$. Jest równoległa do osi $Ox$ i ma współczynnik kierunkowy równy $0$.

W zadaniach maturalnych często trzeba rozpoznać te przypadki bez wykonywania wielu rachunków. Jeśli w równaniu nie występuje $y$, jest to prosta pionowa. Jeśli nie występuje $x$, jest to prosta pozioma.

Aby sprawdzić, czy punkt $P(x_0,y_0)$ leży na prostej o równaniu $Ax + By + C = 0$, podstawiamy jego współrzędne do równania. Jeżeli otrzymamy prawdziwą równość, punkt należy do prostej.

Schemat jest prosty:

• podstaw $x=x_0$
• podstaw $y=y_0$
• oblicz wartość wyrażenia $Ax_0 + By_0 + C$
• jeśli wynik to $0$, punkt leży na prostej

Ta umiejętność pojawia się bardzo często przy zadaniach o przecięciu prostych, weryfikacji rozwiązań i układach równań. To także najprostszy sposób sprawdzenia, czy dobrze wyznaczyliśmy równanie prostej przechodzącej przez dany punkt.

Dwie proste mogą się przecinać albo być równoległe, a proste równoległe mogą być rozłączne albo pokrywać się. W praktyce szkolnej najczęściej analizuje się ich współczynniki.

Jeśli proste da się zapisać w postaci $y=a_1x+b_1$ oraz $y=a_2x+b_2$, to:

• gdy $a_1=a_2$ i $b_1 \neq b_2$, proste są równoległe i rozłączne
• gdy $a_1=a_2$ i $b_1=b_2$, proste pokrywają się (to też proste równoległe)
• gdy $a_1 \neq a_2$, proste przecinają się

Dla prostych w postaci ogólnej $A_1x+B_1y+C_1=0$ i $A_2x+B_2y+C_2=0$ równoległość rozpoznajemy po proporcjonalności współczynników przy $x$ i $y$. Prostopadłość można sprawdzić warunkiem $A_1A_2+B_1B_2=0$.

Do równoległości wystarczy warunek $a_1=a_2$ (tak podaje karta wzorów). Żeby odróżnić proste równoległe rozłączne od pokrywających się, trzeba porównać też wyrazy wolne.

Równanie prostej można wyznaczyć na kilka sposobów. Jeśli znamy dwa punkty, najpierw obliczamy współczynnik kierunkowy:

• $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, gdy $x_1 \neq x_2$

Następnie korzystamy z postaci kierunkowej i podstawiamy współrzędne jednego punktu. Jeśli $x_1=x_2$, prosta jest pionowa i ma równanie $x=x_1$.

Punkt wspólny dwóch prostych wyznaczamy przez rozwiązanie układu równań liniowych. Otrzymana para liczb jest jedynym punktem wspólnym, jeśli proste się przecinają. Gdy układ jest sprzeczny, proste są równoległe, a gdy nieoznaczony - proste się pokrywają.

W typowych zadaniach maturalnych trzeba umieć:

• zapisać prostą przez dwa punkty
• wyznaczyć prostą równoległą do danej przez wskazany punkt
• znaleźć punkt przecięcia dwóch prostych
• przejść między postacią ogólną i kierunkową