Odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

W układzie współrzędnych każdy punkt opisujemy parą liczb, na przykład $A=(x,y)$. Pierwsza liczba określa położenie względem osi $Ox$, a druga względem osi $Oy$. Gdy mamy dwa punkty, interesuje nas długość odcinka, który je łączy. Tę długość nazywamy odległością dwóch punktów.

Jeżeli punkty leżą na jednej prostej poziomej, czyli mają takie samo $y$, odległość liczymy jako wartość bezwzględną różnicy współrzędnych $x$. Analogicznie, gdy punkty leżą na jednej prostej pionowej i mają takie samo $x$, odległość to wartość bezwzględna różnicy współrzędnych $y$.

Dla punktów $A=(x_1,y_1)$ oraz $B=(x_2,y_2)$ stosujemy wzór

$$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.$$

Skąd on się bierze? Między punktami można utworzyć trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości $|x_2-x_1|$ oraz $|y_2-y_1|$. Szukana odległość jest wtedy przeciwprostokątną. Z twierdzenia Pitagorasa dostajemy zależność

$$d^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2,$$

a po spierwiastkowaniu otrzymujemy wzór na odległość.

W praktyce bardzo ważne są pojęcia różnicy współrzędnych: $\Delta x=x_2-x_1$ i $\Delta y=y_2-y_1$. To właśnie one tworzą „poziomą” i „pionową” część drogi między punktami.

Najbezpieczniejszy sposób liczenia jest zawsze taki sam.

• Zapisz współrzędne obu punktów.
• Oblicz różnicę pierwszych współrzędnych i różnicę drugich współrzędnych.
• Podnieś obie różnice do kwadratu.
• Dodaj otrzymane liczby.
• Wyciągnij pierwiastek.

Przykład: dla $A=(1,2)$ i $B=(4,6)$ mamy $\Delta x=3$ oraz $\Delta y=4$. Zatem

$$AB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.$$

Częsty błąd polega na dodaniu różnic bez podnoszenia do kwadratu albo na pozostawieniu wyniku w postaci $25$, chociaż poprawna odległość wynosi $5$. Trzeba też uważać na liczby ujemne: przy odejmowaniu znak minus łatwo zgubić.

Nie zawsze trzeba od razu używać pełnego wzoru. Jeśli punkty mają jednakową współrzędną $x$, leżą na prostej pionowej i odległość to tylko różnica współrzędnych $y$. Jeśli mają jednakową współrzędną $y$, leżą na prostej poziomej i liczymy tylko różnicę współrzędnych $x$.

Warto też rozpoznawać znane układy liczb. Gdy różnice współrzędnych wynoszą $3$ i $4$, odległość wynosi $5$. Gdy wynoszą $6$ i $8$, odległość wynosi $10$. Takie zależności często przyspieszają zadania maturalne.

Jeżeli odległość dwóch punktów wynosi $0$, to punkty się pokrywają, czyli mają identyczne współrzędne. Odległość nigdy nie jest ujemna, bo jest długością odcinka.

Wzór na odległość przydaje się nie tylko do samego liczenia długości. Bardzo często wykorzystuje się go do badania własności figur na płaszczyźnie. Gdy obliczymy długości boków, możemy sprawdzić, czy są równe, a więc czy figura jest na przykład rombem, prostokątem albo kwadratem.

W trójkątach wzór pomaga ustalić, czy figura jest prostokątna. Jeśli po obliczeniu długości boków otrzymujemy zależność zgodną z twierdzeniem Pitagorasa, to trójkąt jest prostokątny. Można też wykrywać trójkąty równoramienne, gdy dwa boki mają tę samą długość.

Drugim ważnym zastosowaniem jest środek odcinka. Dla punktów $A=(x_1,y_1)$ i $B=(x_2,y_2)$ jego współrzędne to

$$S=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right).$$

Choć to inny wzór niż wzór na odległość, w zadaniach bardzo często oba pojawiają się razem.

Na poziomie licealnym spotyka się kilka standardowych typów poleceń.

• Oblicz długość odcinka o danych końcach.
• Wyznacz punkt, który jest w równej odległości od innych punktów.
• Sprawdź, czy trójkąt jest prostokątny lub równoramienny.
• Oblicz przekątną prostokąta albo bok figury w układzie współrzędnych.

Najczęstsze błędy uczniów to: pomijanie pierwiastka w końcowym wyniku, zły zapis różnicy współrzędnych, błędne operacje na liczbach ujemnych oraz mylenie wzoru na odległość ze wzorem na środek odcinka. Warto też pamiętać, że zapis $d^2$ oznacza kwadrat odległości, a nie samą odległość.

Dobrą strategią jest najpierw zrobić prosty szkic punktów. Nawet niedokładny rysunek pomaga zauważyć, czy odcinek jest bardziej poziomy, pionowy czy ukośny, i ułatwia kontrolę obliczeń.