Sinus, cosinus i tangens w trójkącie prostokątnym

W liceum sinus, cosinus i tangens poznaje się najpierw jako funkcje kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Oznacza to, że wybieramy jeden z dwóch kątów ostrych i porównujemy długości boków względem tego właśnie kąta.

Każdy trójkąt prostokątny ma jeden kąt równy $90^\circ$. Bok leżący naprzeciw tego kąta nazywamy przeciwprostokątną. Dwa pozostałe boki to przyprostokątne. To, która przyprostokątna jest „przy kącie”, a która „naprzeciw kąta”, zależy od tego, który kąt ostry analizujemy.

Jeśli zmienimy rozpatrywany kąt ostry na drugi, role przyprostokątnych się zamieniają. Dlatego bardzo ważne jest, aby zawsze najpierw zaznaczyć badany kąt, a dopiero potem przypisywać bokom odpowiednie nazwy.

Dla kąta ostrego $\alpha$ w trójkącie prostokątnym obowiązują definicje:

• $\sin \alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciw kąta }\alpha}{\text{przeciwprostokątna}}$
• $\cos \alpha = \frac{\text{przyprostokątna przy kącie }\alpha}{\text{przeciwprostokątna}}$
• $\tg \alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciw kąta }\alpha}{\text{przyprostokątna przy kącie }\alpha}$

Warto zauważyć, że sinus i cosinus porównują przyprostokątną z przeciwprostokątną, natomiast tangens porównuje ze sobą tylko obie przyprostokątne. To często pomaga szybko rozpoznać, której funkcji należy użyć w zadaniu.

Jeżeli znamy odpowiednie długości boków, możemy od razu obliczyć wartość funkcji trygonometrycznej. Jeżeli natomiast znamy wartość funkcji i jeden bok, możemy wyznaczyć brakujący bok lub miarę kąta.

Najwięcej błędów pojawia się przy rozpoznawaniu, który bok jest naprzeciw danego kąta, a który leży przy nim. Przeciwprostokątna jest najłatwiejsza do wskazania, bo leży naprzeciw kąta prostego i jest najdłuższym bokiem.

Aby wskazać przyprostokątną naprzeciw kąta ostrego, patrzymy, który bok nie dotyka tego kąta. Przyprostokątna przy kącie to ta, która razem z przeciwprostokątną tworzy analizowany kąt.

Jeśli w zadaniu występują dwa kąty ostre, trzeba pamiętać, że dla jednego kąta dany bok może być „przy”, a dla drugiego „naprzeciw”. To nie są cechy stałe boku, tylko relacje względem wybranego kąta.

W zadaniach bardzo często korzysta się z dwóch podstawowych zależności. Pierwsza to jedynka trygonometryczna:

• $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Druga to związek tangensa z sinusem i cosinusem:

• $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Te wzory pozwalają wyznaczać jedną funkcję, gdy znamy inną. Na przykład, jeśli znamy sinus kąta ostrego, to z jedynki trygonometrycznej możemy policzyć cosinus, a następnie tangens.

W trójkącie prostokątnym dwa kąty ostre są dopełniające, czyli ich suma wynosi $90^\circ$. Stąd wynika zależność między funkcjami tych kątów, na przykład $\sin \alpha = \cos \beta$, gdy $\alpha + \beta = 90^\circ$. To bardzo użyteczne przy sprawdzaniu poprawności obliczeń.

Na pamięć trzeba znać wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów $30^\circ$, $45^\circ$ i $60^\circ$:

• $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tg 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$
• $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tg 45^\circ = 1$
• $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, $\tg 60^\circ = \sqrt{3}$

Warto zwrócić uwagę, że dla kątów $30^\circ$ i $60^\circ$ wartości sinusa i cosinusa „zamieniają się miejscami”. Dla kąta $45^\circ$ sinus i cosinus są równe, ponieważ w odpowiednim trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają tę samą długość.

Znajomość tych wartości znacznie przyspiesza rozwiązywanie zadań maturalnych, zwłaszcza gdy trzeba szybko rozpoznać miarę kąta albo obliczyć brakujący bok.

Funkcje trygonometryczne służą do obliczania długości boków trójkąta prostokątnego, gdy znamy jeden bok i jeden kąt, albo do wyznaczania kąta, gdy znamy odpowiedni stosunek boków.

Przykładowo, jeśli znamy przeciwprostokątną i bok naprzeciw kąta, najwygodniej użyć sinusa. Gdy znamy przeciwprostokątną i bok przy kącie, naturalnym wyborem jest cosinus. Jeśli znamy obie przyprostokątne, najprościej skorzystać z tangensa.

W wielu zadaniach trygonometria łączy się z twierdzeniem Pitagorasa. Można najpierw obliczyć brakujący bok z zależności $a^2 + b^2 = c^2$, a potem wyznaczyć odpowiednią funkcję trygonometryczną. Można też postąpić odwrotnie: z funkcji trygonometrycznej wyznaczyć bok, a następnie sprawdzić wynik Pitagorasem.

Na maturze często pojawiają się zadania, w których trzeba:

• obliczyć wartość sinusa, cosinusa lub tangensa z podanych boków,
• wyznaczyć brakujący bok w trójkącie prostokątnym,
• rozpoznać miarę kąta na podstawie znanej wartości funkcji,
• wykorzystać jedynkę trygonometryczną lub wzór $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

Najczęstsze błędy to pomylenie przyprostokątnej „przy kącie” z przyprostokątną „naprzeciw kąta”, błędne wskazanie przeciwprostokątnej oraz mylenie wartości funkcji dla kątów $30^\circ$, $45^\circ$ i $60^\circ$.

Warto też pamiętać, że dla kąta ostrego wartości sinusa i cosinusa są dodatnie i nie większe niż $1$. Z kolei tangens kąta ostrego jest dodatni. Jeśli w obliczeniach wychodzi wynik sprzeczny z tymi własnościami, należy sprawdzić rachunki lub dobór wzoru.