÷×

Równanie kierunkowe prostej

Matematyka

Zestaw wyjaśnia, czym jest równanie kierunkowe prostej i jak interpretować współczynnik kierunkowy oraz wyraz wolny. Nauczysz się wyznaczać wzór prostej, rozpoznawać jej położenie na wykresie i rozwiązywać typowe zadania maturalne z prostymi równoległymi i przecinającymi się.

10 fiszek20 pytań · 2 etapynotatkaSzkoła średnia

Pobierz test do druku

1.Równanie kierunkowe prostej

To zapis prostej w postaci $y=ax+b$ , gdzie $a$ jest współczynnikiem kierunkowym, a $b$ wyrazem wolnym. Tę postać stosuje się do prostych niepionowych.

2.Współczynnik kierunkowy $a$

Liczba stojąca przy $x$ w równaniu $y=ax+b$ . Określa nachylenie prostej: gdy $a>0$ , prosta rośnie, gdy $a<0$ , maleje, a gdy $a=0$ , jest pozioma.

3.Wyraz wolny $b$

Liczba wolna od $x$ w równaniu $y=ax+b$ . Oznacza punkt przecięcia prostej z osią $OY$ , czyli dla $x=0$ mamy $y=b$ .

4.Prosta rosnąca

To prosta, dla której wraz ze wzrostem $x$ rośnie także $y$ . W równaniu $y=ax+b$ zachodzi wtedy $a>0$ .

5.Prosta malejąca

To prosta, dla której wraz ze wzrostem $x$ wartości $y$ maleją. W równaniu $y=ax+b$ zachodzi wtedy $a<0$ .

6.Prosta pozioma

Ma równanie postaci $y=b$ . Jej współczynnik kierunkowy jest równy $0$ , więc nie rośnie ani nie maleje.

7.Proste równoległe

Dwie różne proste są równoległe, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy i różne wyrazy wolne, czyli np. $y=a x+b_1$ oraz $y=a x+b_2$ , gdzie $b_1\neq b_2$ .

8.Proste pokrywające się

To proste opisane tym samym równaniem. W postaci kierunkowej mają taki sam współczynnik kierunkowy i taki sam wyraz wolny.

9.Miejsce zerowe prostej

To taka wartość $x$ , dla której $y=0$ . W równaniu $y=ax+b$ wyznaczamy je z równania $ax+b=0$ .

10.Prosta przez punkt

Jeśli znamy punkt i współczynnik kierunkowy, podstawiamy współrzędne punktu do równania $y=ax+b$ i obliczamy $b$ .

Notatka

Na czym polega równanie kierunkowe

Równanie kierunkowe prostej ma postać $y=ax+b$ . Występują w nim dwa bardzo ważne elementy: współczynnik kierunkowy $a$ oraz wyraz wolny $b$ . Taka postać opisuje wszystkie proste niepionowe na układzie współrzędnych.

W praktyce zapis $y=ax+b$ pozwala szybko odczytać najważniejsze własności prostej bez rysowania wykresu. Można od razu stwierdzić, czy prosta jest rosnąca, malejąca, czy pozioma, a także gdzie przecina oś $OY$ .

Zapamiętaj

W równaniu $y=ax+b$ liczba $a$ mówi o nachyleniu prostej, a liczba $b$ o przecięciu z osią $OY$ .

Znaczenie współczynnika kierunkowego

Liczba $a$ stojąca przy $x$ decyduje o tym, jak jest nachylona prosta. Jeśli $a>0$ , to prosta jest rosnąca — gdy przesuwamy się w prawo, wartości $y$ rosną. Jeśli $a<0$ , to prosta jest malejąca — wraz ze wzrostem $x$ wartości $y$ maleją.

Szczególny przypadek to $a=0$ . Wtedy otrzymujemy równanie $y=b$ , czyli prostą poziomą, równoległą do osi $OX$ . Taka prosta nie rośnie i nie maleje.

Im większa wartość bezwzględna współczynnika $a$ , tym prosta jest bardziej stroma. Na przykład prosta o równaniu $y=5x+1$ jest bardziej stroma niż prosta $y=x+1$ , bo liczba $5$ ma większą wartość bezwzględną niż $1$ .

Wyraz wolny i punkty przecięcia z osiami

Liczba $b$ w równaniu $y=ax+b$ to wyraz wolny. Oznacza ona punkt przecięcia prostej z osią $OY$ . Aby to zobaczyć, wystarczy przyjąć $x=0$ . Wtedy dostajemy $y=b$ , więc punkt przecięcia z osią $OY$ ma współrzędne $(0,b)$ .

Można też wyznaczyć punkt przecięcia z osią $OX$ , czyli miejsce zerowe prostej. Na osi $OX$ zawsze mamy $y=0$ , więc podstawiamy do równania: $ax+b=0$ . Rozwiązanie tego równania daje szukaną wartość $x$ .

Ważne

Uczniowie często mylą współczynnik kierunkowy z wyrazem wolnym: liczba przy $x$ to $a$ , a liczba bez $x$ to $b$ .

Jak wyznaczyć równanie prostej

Jeśli znamy współczynnik kierunkowy oraz punkt należący do prostej, to wpisujemy dane do wzoru $y=ax+b$ i obliczamy $b$ . To jedna z najczęstszych metod na sprawdzianach i maturze.

Przykładowo, jeśli prosta ma współczynnik kierunkowy $a=2$ i przechodzi przez punkt $(3,1)$ , to podstawiamy do równania: $1=2\cdot 3+b$ . Otrzymujemy $1=6+b$ , więc $b=-5$ . Szukana prosta ma równanie $y=2x-5$ .

Jeśli z kolei masz dane gotowe równanie, warto sprawdzać punkty przez podstawienie współrzędnych. Punkt należy do prostej wtedy i tylko wtedy, gdy po podstawieniu jego współrzędnych do równania dostaniemy prawdziwą równość.

Przykład

Punkt $(2,5)$ należy do prostej $y=2x+1$ , bo po podstawieniu dostajemy $5=2\cdot 2+1$ .

Proste równoległe i pokrywające się

Dwie proste są równoległe, gdy mają taki sam współczynnik kierunkowy. W postaci kierunkowej oznacza to, że w obu równaniach liczba przy $x$ jest taka sama. Na przykład proste $y=3x+1$ i $y=3x-4$ są równoległe.

Jeśli dodatkowo mają ten sam wyraz wolny, to nie są tylko równoległe, ale po prostu są tą samą prostą. Mówimy wtedy, że proste pokrywają się. Przykładowo równania $y=-x+2$ i $y=-x+2$ opisują dokładnie ten sam wykres.

Gdy współczynniki kierunkowe są różne, proste przecinają się w jednym punkcie. W zadaniach często trzeba rozpoznać to bez rysunku — wystarczy porównać wartości $a$ .

Typowe zadania maturalne i najczęstsze błędy

W zadaniach szkolnych najczęściej trzeba:

odczytać z równania współczynnik kierunkowy i wyraz wolny,
określić, czy prosta jest rosnąca, malejąca czy pozioma,
wyznaczyć punkt przecięcia z osią $OY$ albo miejsce zerowe,
sprawdzić, czy dany punkt należy do prostej,
ułożyć równanie prostej na podstawie punktu i współczynnika kierunkowego,
rozpoznać proste równoległe.

Najczęstszy błąd polega na niewłaściwym odczytaniu znaku. W równaniu $y=-3x+4$ współczynnik kierunkowy to $-3$ , a nie $3$ . Trzeba też uważać, że równanie $y=5$ nadal jest w postaci kierunkowej — po prostu ma $a=0$ .

Dobrą strategią jest szybkie zadawanie sobie trzech pytań: jaka liczba stoi przy $x$ , jaka liczba jest bez $x$ , oraz co się dzieje dla $x=0$ i dla $y=0$ . To pozwala poprawnie rozwiązać większość podstawowych zadań.