÷×

Figury podobne: skala, obwody i pola

Matematyka

Zestaw wyjaśnia, czym są figury podobne i jak działa skala podobieństwa. Utrwalisz zależności między długościami, obwodami i polami oraz nauczysz się rozwiązywać typowe zadania maturalne z proporcji i podobieństwa.

10 fiszek20 pytań · 2 etapynotatkaSzkoła średnia

Pobierz test do druku

1.Figury podobne

To figury o takim samym kształcie: odpowiednie kąty są równe, a odpowiednie długości boków są proporcjonalne. Jedna figura może powstać z drugiej przez jednokrotne powiększenie lub pomniejszenie w tej samej skali.

2.Skala podobieństwa $k$

Liczba określająca, ile razy długości w jednej figurze są większe lub mniejsze od odpowiednich długości w drugiej. Jeśli odcinek $5$ cm odpowiada odcinkowi $10$ cm, to skala wynosi $k=2$ .

3.Odpowiednie boki

To boki leżące naprzeciw równych kątów lub zajmujące odpowiadające sobie miejsca w figurach podobnych. Ich długości tworzą ten sam stosunek równy skali podobieństwa.

4.Cechy podobieństwa trójkątów

Trójkąty są podobne, gdy zachodzi jedna z cech: $kk$ — dwa kąty są równe; $bkb$ — dwa boki są proporcjonalne i kąt między nimi jest równy; $bbb$ — trzy pary boków są proporcjonalne.

5.Skala a obwód

Obwody figur podobnych są w tym samym stosunku co odpowiadające długości, czyli jeśli skala podobieństwa wynosi $k$ , to obwody też mają stosunek $k$ .

6.Skala a pole

Pola figur podobnych mają stosunek równy kwadratowi skali podobieństwa. Jeśli skala wynosi $k$ , to stosunek pól wynosi $k^2$ .

7.Skala powiększenia

Gdy $k>1$ , figura po przekształceniu jest większa od wyjściowej. Wszystkie długości rosną $k$ razy, obwód rośnie $k$ razy, a pole $k^2$ razy.

8.Skala pomniejszenia

Gdy $0<k<1$ , figura po przekształceniu jest mniejsza. Długości i obwód maleją $k$ razy, a pole maleje $k^2$ razy.

9.Stosunek pól figur podobnych

Jeśli pola dwóch figur podobnych są w stosunku $m:n$ , to skala długości wynosi $\sqrt{\frac{m}{n}}$ lub odwrotnie, zależnie od kierunku porównania.

10.Twierdzenie Talesa a podobieństwo

Gdy prosta równoległa do jednego boku trójkąta przecina dwa pozostałe boki, powstają odcinki proporcjonalne, a mniejsze i większe trójkąty są podobne. To częsta podstawa zadań obliczeniowych.

Notatka

Na czym polega podobieństwo figur

Figury podobne to figury mające taki sam kształt, ale niekoniecznie ten sam rozmiar. W praktyce oznacza to, że odpowiednie kąty są równe, a odpowiednie boki pozostają w stałym stosunku. Ten stały stosunek nazywamy skalą podobieństwa i oznaczamy zwykle przez $k$ .

Jeżeli jedna figura powstaje z drugiej przez jednakowe powiększenie lub pomniejszenie wszystkich długości, to figury są podobne. Podobieństwo nie zachowuje długości bezwzględnych, ale zachowuje proporcje. Dlatego można porównywać boki, wysokości, przekątne i inne odcinki odpowiadające sobie w figurach.

Ważne

W figurach podobnych porównujemy tylko elementy odpowiadające sobie, a nie dowolne boki czy kąty.

Skala podobieństwa i jej interpretacja

Skala podobieństwa mówi, ile razy zmieniły się długości. Gdy $k>1$ , mamy powiększenie. Gdy $0<k<1$ , mamy pomniejszenie. Jeśli na przykład bok długości $4$ cm po przekształceniu ma $10$ cm, to skala wynosi $k=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$ .

Skala zawsze dotyczy długości, więc wprost odnosi się do boków, wysokości, promieni, przekątnych i obwodów. Trzeba uważać na kierunek porównania: jeśli porównujemy figurę mniejszą do większej, skala może być na przykład $k=\frac{2}{3}$ , a przy porównaniu większej do mniejszej będzie to $k=\frac{3}{2}$ .

W zadaniach bardzo ważne jest poprawne ustalenie, które elementy są sobie odpowiadające. Najczęściej korzysta się z kolejności wierzchołków, rysunku albo równości odpowiednich kątów.

Obwody i pola figur podobnych

Jeżeli figury są podobne w skali $k$ , to wszystkie długości zmieniają się $k$ razy. Z tego wynika, że obwody figur podobnych także są w stosunku $k$ . Jeśli więc skala wynosi $3$ , to obwód również rośnie $3$ razy.

Inaczej jest z polami. Pole zależy od dwóch wymiarów, dlatego przy skali $k$ stosunek pól wynosi $k^2$ . Gdy długości rosną dwa razy, pole rośnie cztery razy. Gdy długości maleją trzy razy, pole maleje dziewięć razy.

Najważniejsze zależności:

jeśli skala długości wynosi $k$ , to stosunek obwodów wynosi $k$
jeśli skala długości wynosi $k$ , to stosunek pól wynosi $k^2$
jeśli znamy stosunek pól, to skalę długości obliczamy przez pierwiastek

Zapamiętaj

Obwód zmienia się jak długość, a pole jak kwadrat skali.

Podobieństwo trójkątów

W liceum szczególnie ważne są cechy podobieństwa trójkątów. Pierwsza to $kk$ : jeśli dwa kąty jednego trójkąta są równe odpowiednio dwóm kątom drugiego, to trójkąty są podobne. Druga to $bkb$ : dwa odpowiednie boki są proporcjonalne i kąt między nimi jest równy. Trzecia to $bbb$ : wszystkie trzy pary boków są proporcjonalne.

W zadaniach często wystarczy zauważyć równość kątów. Gdy w trójkącie poprowadzi się prostą równoległą do jednego boku, powstają mniejsze trójkąty, które zwykle są podobne do całego trójkąta. To pozwala układać proporcje i obliczać brakujące odcinki.

Podobieństwo trójkątów jest powiązane z twierdzeniem Talesa. Równoległość prostych prowadzi do proporcji odcinków, a proporcje odcinków są podstawą wielu obliczeń geometrycznych.

Jak rozwiązywać zadania obliczeniowe

W zadaniach maturalnych warto działać według stałego schematu. Najpierw ustal, czy figury są rzeczywiście podobne. Następnie wskaż elementy odpowiadające sobie. Potem zapisz właściwą proporcję długości albo skorzystaj z zależności dla obwodów i pól.

Jeżeli dane są boki, zwykle wyznacza się skalę bezpośrednio. Jeżeli podane są pola, najpierw oblicza się stosunek pól, a potem przechodzi do skali długości przez pierwiastek. Jeżeli podane są obwody, skala jest taka sama jak stosunek obwodów.

Typowe pułapki:

mylenie stosunku obwodów ze stosunkiem pól
porównywanie nieodpowiednich boków
odczytywanie skali w odwrotnym kierunku
mnożenie pola przez $k$ zamiast przez $k^2$

Przykład

Jeśli dwa podobne prostokąty mają boki w stosunku $2:5$ , to ich obwody są w stosunku $2:5$ , ale pola w stosunku $4:25$ .

Najczęstsze zastosowania i wnioski

Figury podobne pojawiają się w geometrii płaskiej, przy planach i mapach, w modelach, rysunkach technicznych oraz przy porównywaniu zdjęć i obrazów. W matematyce szkolnej najczęściej dotyczą trójkątów, prostokątów, kwadratów i figur z odcinkami równoległymi.

Warto pamiętać, że w figurach podobnych taki sam stosunek mają nie tylko boki, lecz także inne odpowiadające sobie odcinki, na przykład wysokości czy promienie okręgów wpisanych i opisanych, jeśli odnoszą się do podobnych figur. Wszystko, co jest długością, zmienia się według skali $k$ .

Najważniejszy wniosek do sprawdzianu jest prosty: rozpoznaj podobieństwo, znajdź skalę, a potem zdecyduj, czy pytanie dotyczy długości, obwodu czy pola. Od tego zależy, czy używasz $k$ , czy $k^2$ .