Cechy podobieństwa trójkątów

Podobieństwo trójkątów oznacza, że dwa trójkąty mają taki sam kształt, choć niekoniecznie ten sam rozmiar. W praktyce oznacza to, że odpowiednie kąty są równe, a odpowiednie boki są proporcjonalne. Jeśli jeden trójkąt powstaje z drugiego przez powiększenie albo pomniejszenie w pewnej skali, to te trójkąty są podobne.

Bardzo ważne jest poprawne dopasowanie elementów odpowiadających sobie. Gdy zapisujemy $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, to kolejność liter nie jest przypadkowa. Oznacza ona, że kąt przy $A$ odpowiada kątowi przy $D$, kąt przy $B$ odpowiada kątowi przy $E$, a kąt przy $C$ odpowiada kątowi przy $F$. Z tego samego wynika odpowiadanie boków: $AB$ z $DE$, $BC$ z $EF$, $AC$ z $DF$.

Skala podobieństwa to liczba dodatnia $k$, która mówi, ile razy zmieniły się długości. Jeśli bok długości $4$ odpowiada bokowi długości $10$, to skala przejścia od pierwszego trójkąta do drugiego wynosi $\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$.

W liceum korzysta się z trzech podstawowych cech podobieństwa trójkątów.

• Cecha $kk$: jeśli dwa kąty jednego trójkąta są odpowiednio równe dwóm kątom drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne.
• Cecha $bbb$: jeśli trzy boki jednego trójkąta są proporcjonalne do trzech odpowiednich boków drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne.
• Cecha $bkb$: jeśli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch odpowiednich boków drugiego trójkąta oraz kąt zawarty między tymi bokami jest równy, to trójkąty są podobne.

W cesze $kk$ wystarczą dwa kąty, ponieważ suma kątów w każdym trójkącie wynosi $180^\circ$. Gdy dwa kąty są już równe, trzeci także musi być równy.

Przy cesze $bkb$ trzeba uważać: chodzi o kąt leżący między porównywanymi bokami. Sama proporcjonalność dwóch boków jeszcze nie wystarcza.

Po wykazaniu podobieństwa przechodzimy do obliczeń. Najważniejszym narzędziem jest proporcja odpowiednich boków. Jeśli $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, to można zapisać na przykład

$$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}.$$

Z takiej równości wyznacza się brakujące długości. Trzeba tylko pilnować, aby w liczniku i mianowniku zawsze stały boki odpowiadające sobie.

Jeżeli znamy jedną parę odpowiednich boków, możemy wyznaczyć skalę podobieństwa. Potem łatwo obliczyć pozostałe długości. Na przykład gdy $AB=6$ i $DE=9$, to skala od pierwszego trójkąta do drugiego wynosi $\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$. Wtedy każdy odpowiedni bok drugiego trójkąta jest równy długości boku pierwszego pomnożonej przez $\frac{3}{2}$.

W zadaniach często pojawiają się także odcinki wewnątrz figur. Jeśli pochodzą z trójkątów podobnych i odpowiadają sobie, to ich długości również pozostają w tej samej skali. Dotyczy to między innymi wysokości, środkowych i dwusiecznych.

Podobieństwo wpływa nie tylko na boki, ale też na inne wielkości. Jeśli skala podobieństwa wynosi $k$, to:

• odpowiednie boki są w stosunku $k$,
• obwody są w stosunku $k$,
• wysokości, środkowe i dwusieczne są w stosunku $k$,
• pola są w stosunku $k^2$.

To bardzo ważna zależność. Jeśli więc boki dwóch podobnych trójkątów są w stosunku $2:5$, to ich pola są w stosunku $4:25$. Odwrotnie, jeśli pola są w stosunku $9:16$, to stosunek odpowiednich boków wynosi $3:4$.

Na maturze często trzeba przejść od pól do boków albo od obwodów do skali. Wtedy trzeba pamiętać, że obwód zachowuje skalę liniową, a pole skalę kwadratową.

Cechy podobieństwa są bardzo przydatne w geometrii płaskiej. Pozwalają obliczać długości odcinków bez bezpośredniego mierzenia wszystkich boków. Szczególnie często pojawiają się w zadaniach z twierdzeniem Talesa, z prostymi równoległymi przecinającymi ramiona kąta oraz w figurach, w których wydzielają się dwa trójkąty o wspólnych kątach.

W wielu zadaniach trzeba najpierw zauważyć równość kątów. Może ona wynikać z tego, że:

• są to kąty wierzchołkowe,
• są to kąty odpowiadające przy prostych równoległych,
• oba trójkąty mają wspólny kąt,
• suma kątów w trójkącie prowadzi do równości trzeciego kąta.

Po wykazaniu podobieństwa zwykle zapisuje się odpowiednią proporcję i oblicza niewiadomą. Czasem trzeba też porównać pola, obwody lub wysokości.

Dobrym nawykiem jest oznaczanie na rysunku równych kątów takimi samymi znakami. To ułatwia poprawne ustalenie, które boki są odpowiednie.

W zadaniach szkolnych i maturalnych najczęściej trzeba:

• rozpoznać, którą cechę podobieństwa można zastosować,
• poprawnie zapisać podobieństwo, np. $\triangle ABC \sim \triangle DEF$,
• ułożyć proporcję odpowiednich boków,
• obliczyć brakujący bok, obwód albo pole,
• wykorzystać fakt, że przy prostych równoległych często powstają trójkąty podobne.

Najczęstsze błędy uczniów to:

• pomylenie przystawania z podobieństwem,
• zapisanie proporcji z niewłaściwie dobranych boków,
• użycie stosunku pól zamiast stosunku boków,
• zapomnienie, że w przypadku pól trzeba użyć kwadratu skali,
• zastosowanie cechy $bkb$ mimo że znany kąt nie jest kątem zawartym między porównywanymi bokami.

Jeśli rozwiązanie nie wychodzi, warto wrócić do rysunku i sprawdzić samą kolejność odpowiadania boków. Bardzo często błąd pojawia się właśnie na tym etapie.