Okrąg wpisany i opisany na trójkącie

W trójkącie wyróżnia się dwa bardzo ważne okręgi: okrąg wpisany i okrąg opisany. Okrąg wpisany jest styczny do wszystkich trzech boków trójkąta. Okrąg opisany przechodzi przez wszystkie trzy wierzchołki trójkąta. Te dwa pojęcia łatwo pomylić, dlatego trzeba pamiętać, że jeden dotyczy boków, a drugi wierzchołków.

Środek okręgu wpisanego oznacza się często przez incenter, ale na poziomie szkolnym najważniejsze jest rozumienie jego własności. Podobnie środek okręgu opisanego bywa nazywany środkiem okręgu opisanego albo punktem przecięcia symetralnych. W zadaniach najczęściej trzeba wskazać konstrukcję, obliczyć promień albo wykorzystać zależność z polem.

Środek okręgu wpisanego to punkt przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta. Dwusieczna dzieli kąt na dwie równe części. Ważna własność mówi, że każdy punkt leżący na dwusiecznej jest równoodległy od ramion kąta. Dzięki temu punkt przecięcia dwusiecznych jest równoodległy od wszystkich trzech boków trójkąta.

Ta wspólna odległość od boków to promień okręgu wpisanego i oznacza się ją przez $r$. Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do odpowiedniego boku. Środek okręgu wpisanego zawsze leży wewnątrz trójkąta, niezależnie od tego, czy trójkąt jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny.

W zadaniach konstrukcyjnych zwykle wystarczy narysować dwie dwusieczne — ich punkt przecięcia wyznacza środek, a następnie z tego punktu opuścić prostopadłą na dowolny bok, aby otrzymać promień $r$.

Środek okręgu opisanego to punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta. Symetralna odcinka jest prostą prostopadłą do odcinka i przechodzącą przez jego środek. Każdy punkt tej prostej jest równoodległy od końców odcinka. Z tego wynika, że punkt przecięcia symetralnych boków jest równoodległy od wszystkich trzech wierzchołków trójkąta.

Ta wspólna odległość od wierzchołków to promień okręgu opisanego i oznacza się ją przez $R$. Położenie tego środka zależy od rodzaju trójkąta:

• w trójkącie ostrokątnym leży wewnątrz,
• w trójkącie prostokątnym leży w środku przeciwprostokątnej,
• w trójkącie rozwartokątnym leży na zewnątrz trójkąta.

W zadaniach rachunkowych bardzo często wykorzystuje się wzór na pole trójkąta z promieniem okręgu wpisanego. Jeśli $P$ oznacza pole trójkąta, a $p$ jego połowę obwodu, to zachodzi zależność:

$$P=pr$$

Połowę obwodu obliczamy ze wzoru:

$$p=\frac{a+b+c}{2}$$

To pozwala wyznaczyć promień okręgu wpisanego:

$$r=\frac{P}{p}$$

W trójkącie prostokątnym szczególnie przydatna jest własność związana z okręgiem opisanym: środek leży w środku przeciwprostokątnej, więc promień okręgu opisanego jest równy połowie tej przeciwprostokątnej. W zadaniach maturalnych często łączy się tę własność z twierdzeniem Pitagorasa.

W trójkącie równobocznym sytuacja jest wyjątkowo uporządkowana. Wszystkie boki są równe, wszystkie kąty mają miarę $60^\circ$, a wiele punktów szczególnych pokrywa się. Punkt przecięcia dwusiecznych, symetralnych boków, median i wysokości jest tym samym punktem.

Oznacza to, że środek okręgu wpisanego i środek okręgu opisanego są tutaj jednym i tym samym punktem. To ważna własność, bo w prostszych zadaniach pozwala szybko rozpoznać zależności i uniknąć zbędnych konstrukcji.

Nie wolno jednak przenosić tej własności na dowolny trójkąt. W większości trójkątów środek okręgu wpisanego i środek okręgu opisanego są różnymi punktami.

Na sprawdzianach i maturze najczęściej pojawiają się zadania, w których trzeba:

• wskazać, z jakich prostych wyznacza się dany środek,
• określić położenie środka okręgu opisanego względem trójkąta,
• obliczyć promień $r$ ze wzoru $P=pr$,
• obliczyć promień $R$ w trójkącie prostokątnym,
• uzasadnić, że dany punkt jest równoodległy od boków albo od wierzchołków.

Najczęstszy błąd polega na pomyleniu dwusiecznej z symetralną. Dwusieczna dotyczy kąta, a symetralna dotyczy boku jako odcinka. Drugi częsty błąd to mylenie znaczenia promieni: $r$ odnosi się do okręgu wpisanego, a $R$ do opisanego.

Warto też pamiętać, że środek okręgu wpisanego zawsze leży wewnątrz trójkąta, natomiast środek okręgu opisanego nie zawsze. To rozróżnienie często decyduje o poprawności odpowiedzi w zadaniach testowych.