Środek ciężkości i ortocentrum trójkąta

W trójkącie istnieje kilka ważnych punktów szczególnych. W tym temacie najważniejsze są środek ciężkości oraz ortocentrum. Każdy z nich powstaje jako punkt przecięcia odpowiednich odcinków związanych z trójkątem, ale nie wolno ich mylić, bo pochodzą z innych konstrukcji i mają inne własności.

Środek ciężkości jest związany ze środkowymi, natomiast ortocentrum z wysokościami. W zadaniach bardzo często najpierw trzeba poprawnie rozpoznać, z jakim odcinkiem mamy do czynienia, a dopiero potem korzystać z własności danego punktu.

Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma trzy środkowe i wszystkie przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt nazywamy środkiem ciężkości i często oznaczamy literą $G$.

Najważniejsza własność środka ciężkości dotyczy podziału środkowej. Punkt $G$ dzieli każdą środkową w stosunku

$$2:1$$

licząc od wierzchołka. Oznacza to, że jeśli $M$ jest środkiem boku, a $A$ odpowiednim wierzchołkiem, to na środkowej $AM$ zachodzi

$$AG:GM=2:1.$$

Stąd wynika też, że

$$AG=\frac{2}{3}AM,\qquad GM=\frac{1}{3}AM.$$

Ta własność jest bardzo ważna w obliczeniach długości. Gdy znasz długość całej środkowej, łatwo wyznaczysz oba odcinki po jej podziale przez punkt $G$.

Wysokość trójkąta to odcinek poprowadzony z wierzchołka prostopadle do prostej zawierającej przeciwległy bok. Trzeba zwrócić uwagę na sformułowanie „do prostej zawierającej bok”, ponieważ w trójkącie rozwartokątnym wysokość może wypaść poza samą figurę.

Trzy wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt to ortocentrum, zwykle oznaczane przez $H$. Jego położenie zależy od rodzaju trójkąta:

• w trójkącie ostrokątnym ortocentrum leży wewnątrz trójkąta,
• w trójkącie prostokątnym ortocentrum leży w wierzchołku kąta prostego,
• w trójkącie rozwartokątnym ortocentrum leży na zewnątrz trójkąta.

W trójkącie prostokątnym dwie wysokości pokrywają się z przyprostokątnymi, dlatego ich punkt przecięcia to właśnie wierzchołek kąta prostego.

W zadaniach geometrycznych najpierw trzeba ustalić, jaki odcinek został narysowany lub opisany. Gdy odcinek prowadzi z wierzchołka do środka boku, mamy do czynienia ze środkową. Gdy odcinek jest prostopadły do boku lub jego przedłużenia, chodzi o wysokość.

Jeśli w zadaniu pojawia się informacja, że trzy odcinki przecinają się w jednym punkcie i każdy z nich łączy wierzchołek ze środkiem boku, to chodzi o środek ciężkości. Jeśli punkt leży na trzech wysokościach, jest to ortocentrum.

Warto też pamiętać, że w trójkącie równobocznym wiele punktów szczególnych pokrywa się. W takim trójkącie środkowe, wysokości, dwusieczne i symetralne są jednocześnie tymi samymi prostymi, więc środek ciężkości i ortocentrum wyznaczają ten sam punkt.

Na poziomie liceum zadania dotyczące tych punktów najczęściej polegają na:

• obliczaniu długości odcinków na środkowej z wykorzystaniem stosunku $2:1$,
• wskazywaniu położenia ortocentrum zależnie od rodzaju trójkąta,
• uzasadnianiu, że dany punkt jest środkiem ciężkości albo ortocentrum,
• łączeniu własności punktów szczególnych z innymi faktami geometrycznymi.

W obliczeniach trzeba uważać, czy dana długość dotyczy całej środkowej, czy tylko jej części. Jeśli znasz całą środkową długości $m$, to odcinek od wierzchołka do środka ciężkości ma długość $\frac{2}{3}m$, a od środka ciężkości do środka boku $\frac{1}{3}m$.

Częsty błąd polega na utożsamianiu środka ciężkości z „środkiem trójkąta” w sensie dowolnego środka. W geometrii każdy punkt szczególny ma własną definicję i nie wolno przenosić własności jednego punktu na drugi bez uzasadnienia.