Wielokąty foremne: kąty i przekątne

Wielokąt foremny to taki wielokąt, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty wewnętrzne równe. W praktyce oznacza to dużą symetrię figury: można w niej wskazać środek, a wokół tego środka rozmieszczone są równomiernie wszystkie wierzchołki.

Do najczęściej spotykanych wielokątów foremnych należą: trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciokąt foremny, sześciokąt foremny i ośmiokąt foremny. W liceum najważniejsze są obliczenia związane z miarami kątów oraz z liczbą przekątnych.

Każdy wielokąt foremny jest jednocześnie:

• wpisany w pewien okrąg opisany, bo wszystkie jego wierzchołki leżą na jednym okręgu,
• opisany na pewnym okręgu wpisanym, bo wszystkie jego boki są styczne do jednego okręgu.

Ta własność pozwala łączyć wiedzę o wielokątach foremnych z tematami dotyczącymi okręgów, kątów środkowych i kątów wpisanych.

Podstawą obliczeń jest wzór na sumę kątów wewnętrznych wypukłego $n$-kąta:

$$(n-2)\cdot 180^\circ$$

Wynika on z tego, że taki wielokąt można podzielić na $n-2$ trójkąty, prowadząc przekątne z jednego wierzchołka.

Jeżeli wielokąt jest foremny, to wszystkie jego kąty wewnętrzne mają tę samą miarę. Wtedy miara jednego kąta wewnętrznego wynosi:

$$\frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}$$

Przykłady:

• dla trójkąta foremnego: $\frac{(3-2)\cdot 180^\circ}{3}=60^\circ$,
• dla kwadratu: $\frac{(4-2)\cdot 180^\circ}{4}=90^\circ$,
• dla sześciokąta foremnego: $\frac{(6-2)\cdot 180^\circ}{6}=120^\circ$,
• dla ośmiokąta foremnego: $\frac{(8-2)\cdot 180^\circ}{8}=135^\circ$.

Jeśli połączymy środek okręgu opisanego z dwoma sąsiednimi wierzchołkami wielokąta foremnego, otrzymamy kąt środkowy oparty na jednym boku. Ponieważ pełny obrót wokół środka ma $360^\circ$, miara takiego kąta wynosi:

$$\frac{360^\circ}{n}$$

Tę samą miarę ma także kąt zewnętrzny wielokąta foremnego. Wynika to z faktu, że kąt zewnętrzny i odpowiadający mu kąt wewnętrzny są kątami przyległymi, więc ich suma wynosi $180^\circ$.

Zależności, które warto znać:

• kąt środkowy: $\frac{360^\circ}{n}$,
• kąt zewnętrzny: $\frac{360^\circ}{n}$,
• kąt wewnętrzny: $180^\circ-\frac{360^\circ}{n}$.

Dzięki temu można rozwiązywać zadania „w obie strony”. Jeśli znasz miarę kąta zewnętrznego lub środkowego, możesz znaleźć liczbę boków z wzoru:

$$n=\frac{360^\circ}{\alpha}$$

where $\alpha$ oznacza miarę tego kąta.

Przekątna to odcinek łączący dwa niesąsiednie wierzchołki wielokąta. Z jednego wierzchołka można poprowadzić dokładnie:

$$n-3$$

przekątne, ponieważ nie łączymy go z samym sobą ani z dwoma sąsiednimi wierzchołkami.

Liczba wszystkich przekątnych w $n$-kącie wynosi:

$$\frac{n(n-3)}{2}$$

Dzielimy przez $2$, bo każdą przekątną liczymy początkowo dwa razy: raz z jednego końca, raz z drugiego.

Przykłady:

• pięciokąt: $\frac{5(5-3)}{2}=5$ przekątnych,
• sześciokąt: $\frac{6(6-3)}{2}=9$ przekątnych,
• dziesięciokąt: $\frac{10(10-3)}{2}=35$ przekątnych.

W wielokątach foremnych przekątne często tworzą dodatkowe figury i osie symetrii. W niektórych zadaniach trzeba jedynie policzyć ich liczbę, ale czasem wykorzystuje się też fakt, że przekątne łączą wierzchołki rozmieszczone regularnie na okręgu.

Każdy wielokąt foremny można wpisać w okrąg opisany, czyli taki, który przechodzi przez wszystkie jego wierzchołki. Jednocześnie można w niego wpisać okrąg wpisany, czyli styczny do wszystkich boków.

To bardzo ważne, bo pozwala używać własności kątów środkowych i dzielić figurę na równe trójkąty. Po połączeniu środka okręgu z kolejnymi wierzchołkami otrzymujemy $n$ przystających trójkątów równoramiennych. Ich kąty przy środku mają miarę $\frac{360^\circ}{n}$.

W zadaniach geometrycznych często wykorzystuje się te obserwacje:

• wierzchołki są rozmieszczone na okręgu w równych odstępach,
• środek wielokąta jest jednocześnie środkiem okręgu opisanego i wpisanego,
• odcinki prowadzone od środka do wierzchołków mają jednakową długość,
• odległości środka od boków także są jednakowe.

Dzięki temu wiele problemów o wielokątach foremnych można sprowadzić do własności trójkątów równoramiennych, kątów w okręgu oraz prostych zależności miar.

W zadaniach licealnych najczęściej trzeba:

• obliczyć miarę kąta wewnętrznego lub zewnętrznego,
• znaleźć liczbę boków na podstawie podanej miary kąta,
• policzyć liczbę przekątnych,
• porównać własności różnych wielokątów foremnych,
• połączyć informacje o wielokącie z własnościami okręgu.

Dobra strategia działania:

• najpierw ustal, czy chodzi o kąt wewnętrzny, zewnętrzny czy środkowy,
• zapisz odpowiedni wzór,
• sprawdź, czy wynik ma sens geometryczny,
• przy przekątnych uważaj na podwójne liczenie.

Częste pomyłki:

• używanie wzoru $\frac{360^\circ}{n}$ zamiast wzoru na kąt wewnętrzny,
• zapominanie o dzieleniu przez $2$ we wzorze na liczbę wszystkich przekątnych,
• mylenie liczby przekątnych z jednego wierzchołka z liczbą wszystkich przekątnych.

Jeśli opanujesz trzy główne wzory: na sumę kątów, kąt wewnętrzny i liczbę przekątnych, większość zadań z tego tematu da się rozwiązać szybko i bez skomplikowanych przekształceń.