÷×

Pole wycinka koła i długość łuku okręgu

Matematyka

Zestaw porządkuje pojęcia związane z wycinkiem koła i łukiem okręgu oraz pokazuje najważniejsze wzory i ich zastosowania. Nauczysz się obliczać długość łuku, pole wycinka i poprawnie wykorzystywać zależność od kąta środkowego w typowych zadaniach licealnych.

10 fiszek16 pytań · 2 etapynotatkaSzkoła średnia

Pobierz test do druku

1.Okrąg

Zbiór wszystkich punktów płaszczyzny równoodległych od jednego punktu, zwanego środkiem. Ta stała odległość to promień $r$ .

2.Koło

Figura płaska ograniczona okręgiem, czyli okrąg wraz z jego wnętrzem. Pole koła o promieniu $r$ wynosi $P=π r^2$ .

3.Łuk okręgu

Część okręgu wyznaczona przez dwa punkty leżące na okręgu. Długość łuku zależy od promienia oraz miary odpowiadającego mu kąta środkowego.

4.Wycinek koła

Część koła ograniczona dwoma promieniami i łukiem między nimi. Jego pole jest częścią pola całego koła proporcjonalną do kąta środkowego.

5.Kąt środkowy

Kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku okręgu. To on wyznacza zarówno długość odpowiedniego łuku, jak i pole wycinka koła.

6.Długość okręgu

Obwód okręgu o promieniu $r$ , wyrażony wzorem $L=2π r$ . Długość łuku to odpowiednia część tej długości.

7.Pole koła

Pole koła o promieniu $r$ obliczamy ze wzoru $P=π r^2$ . Pole wycinka jest odpowiednią częścią tego pola.

8.Wzór na długość łuku

Jeśli kąt środkowy ma miarę $α^◦$ , a promień wynosi $r$ , to długość łuku wynosi $l=\frac{α}{360^◦}⋅ 2π r$ .

9.Wzór na pole wycinka

Jeśli kąt środkowy ma miarę $α^◦$ , a promień wynosi $r$ , to pole wycinka wynosi $P_w=\frac{α}{360^◦}⋅ π r^2$ .

10.Proporcjonalność do kąta

Długość łuku i pole wycinka rosną proporcjonalnie do miary kąta środkowego. Gdy kąt podwoimy, podwoją się też długość łuku i pole wycinka.

Notatka

1. Okrąg, koło, łuk i wycinek

Okrąg to zbiór punktów równoodległych od środka, a koło to okrąg wraz z wnętrzem. To rozróżnienie jest bardzo ważne, bo łuk jest częścią okręgu, natomiast wycinek koła jest częścią koła ograniczoną przez dwa promienie i łuk między nimi.

W zadaniach najczęściej pojawia się kąt środkowy, czyli kąt o wierzchołku w środku okręgu. Miara tego kąta decyduje o tym, jak dużą częścią całego okręgu jest dany łuk oraz jak dużą częścią całego koła jest dany wycinek.

Jeżeli kąt środkowy ma miarę $α^◦$ , to odpowiadający mu łuk i wycinek stanowią taką część całości, jaką liczba $α$ stanowi z $360$ .

2. Długość łuku okręgu

Punktem wyjścia jest wzór na długość okręgu: $L=2π r$ , gdzie $r$ oznacza promień. Skoro pełny okrąg odpowiada kątowi $360^◦$ , to łuk odpowiadający kątowi $α^◦$ ma długość równą odpowiedniej części całego obwodu.

Otrzymujemy wzór:

$l=\frac{α}{360^◦}⋅ 2π r$

Warto zauważyć, że długość łuku zależy liniowo od promienia i od kąta środkowego. Jeśli promień lub kąt zwiększymy dwa razy, to długość łuku także zwiększy się dwa razy.

Ważne

Nie myl długości łuku z polem wycinka: w długości występuje $r$ , a w polu $r^2$ .

3. Pole wycinka koła

Pole całego koła o promieniu $r$ obliczamy ze wzoru $P=π r^2$ . Wycinek odpowiada tylko części koła, więc jego pole obliczamy jako taką samą część pola całego koła, jaką kąt $α^◦$ stanowi z $360^◦$ .

Wzór ma postać:

$P_w=\frac{α}{360^◦}⋅ π r^2$

To oznacza, że pole wycinka zależy od kwadratu promienia oraz od kąta środkowego. Gdy promień zwiększymy dwa razy, pole wycinka wzrośnie cztery razy. Gdy dwa razy zwiększymy tylko kąt, pole wzrośnie dwa razy.

W szczególnych przypadkach łatwo korzystać z ułamków części koła:

$90^◦$ to $\frac{1}{4}$ koła,
$180^◦$ to $\frac{1}{2}$ koła,
$60^◦$ to $\frac{1}{6}$ koła.

4. Jak rozwiązywać typowe zadania

W zadaniach maturalnych i sprawdzianowych zwykle trzeba obliczyć jedną z trzech wielkości: promień, kąt środkowy albo długość łuku/pole wycinka. Najpierw ustal, czy chodzi o fragment obwodu czy fragment pola figury.

Dobra metoda postępowania:

odczytaj, czy dane dotyczą łuku czy wycinka,
zapisz odpowiedni wzór,
podstaw znane dane,
jeśli szukasz kąta lub promienia, przekształć równanie,
na końcu sprawdź, czy wynik jest logiczny.

Jeśli łuk jest krótki, kąt powinien być mały. Jeśli wycinek stanowi połowę koła, jego kąt powinien mieć $180^◦$ . Taka kontrola pozwala wykryć wiele błędów rachunkowych.

Przykład

Dla $r=6$ i $α=60^◦$ długość łuku wynosi $\frac{60^◦}{360^◦}⋅ 2π ⋅ 6=2π$ , a pole wycinka $\frac{60^◦}{360^◦}⋅ π ⋅ 6^2=6π$ .

5. Najczęstsze błędy

Najczęstszy błąd to pomylenie pojęć okrąg i koło. Z tego wynika później pomylenie wzorów: $2π r$ dotyczy obwodu, a $π r^2$ pola. Trzeba też uważać, by poprawnie odczytać, jaką częścią pełnego kąta jest dany kąt środkowy.

Częsty problem pojawia się także przy obliczeniach ułamkowych. Na przykład przy kącie $60^◦$ nie mnożymy od razu przez $60$ , tylko bierzemy część $\frac{60}{360}=\frac{1}{6}$ całości. To znacznie upraszcza rachunki.