Rozpoznawanie rodzaju trójkąta z boków

W zadaniach szkolnych trójkąt rozpoznajemy zwykle na dwa sposoby: ze względu na boki oraz ze względu na kąty. Ze względu na boki wyróżniamy trójkąt równoboczny, równoramienny i różnoboczny. Ze względu na kąty mówimy o trójkącie ostrokątnym, prostokątnym albo rozwartokątnym.

Bardzo ważne jest to, że z samych długości boków można określić oba te rodzaje klasyfikacji. Najpierw sprawdza się, czy w ogóle da się zbudować trójkąt, a dopiero potem bada się, czy ma on boki równe oraz jaki jest jego największy kąt.

W praktyce maturalnej najczęściej dostaje się trzy liczby i trzeba zdecydować, jaki to trójkąt. Czasem trzeba też uzasadnić odpowiedź obliczeniami, więc sama intuicja nie wystarcza.

Z odcinków o długościach $a$, $b$, $c$ można zbudować trójkąt tylko wtedy, gdy suma długości każdych dwóch boków jest większa od długości trzeciego. Otrzymujemy więc trzy nierówności: $a+b>c$, $a+c>b$, $b+c>a$.

W zadaniach najwygodniej jest najpierw uporządkować boki rosnąco: $a\le b\le c$. Wtedy wystarczy sprawdzić tylko jeden warunek: $a+b>c$. Jeśli on nie zachodzi, trójkąt nie istnieje i dalsze rozważania nie mają sensu.

Typowy błąd uczniów polega na tym, że od razu sprawdzają, czy zachodzi $a^2+b^2=c^2$, zanim upewnią się, że trójkąt w ogóle istnieje.

Jeżeli wszystkie trzy boki są równe, czyli $a=b=c$, mamy trójkąt równoboczny. Taki trójkąt ma też wszystkie kąty równe i każdy z nich ma miarę $60^\circ$.

Jeżeli dwa boki są równe, na przykład $a=b\ne c$, to trójkąt jest równoramienny. Wtedy równe są także kąty leżące naprzeciw tych boków. W szkolnych zadaniach warto pamiętać, że trójkąt równoboczny jest szczególnym przypadkiem równoramiennego, ale przy klasyfikacji zwykle podaje się nazwę bardziej dokładną, czyli „równoboczny”.

Jeżeli wszystkie boki mają różne długości, trójkąt jest różnoboczny. Nie mówi to jeszcze nic o kątach — taki trójkąt może być ostrokątny, prostokątny albo rozwartokątny.

Aby rozpoznać rodzaj trójkąta ze względu na kąty, korzystamy z twierdzenia odwrotnego do Pitagorasa oraz z wniosku wynikającego z twierdzenia cosinusów. Najpierw porządkujemy boki tak, aby $c$ był bokiem najdłuższym.

Następnie porównujemy sumę kwadratów dwóch krótszych boków z kwadratem boku najdłuższego.

• Jeśli $a^2+b^2=c^2$, trójkąt jest prostokątny.
• Jeśli $a^2+b^2>c^2$, trójkąt jest ostrokątny.
• Jeśli $a^2+b^2<c^2$, trójkąt jest rozwartokątny.

To porównanie działa dlatego, że największy kąt leży naprzeciw najdłuższego boku. Wystarczy więc zbadać relację z udziałem tego właśnie boku.

Bardzo częsty błąd to porównywanie niewłaściwych boków, na przykład branie do porównania kwadratu boku, który nie jest najdłuższy. Taki sposób może dać błędny wynik nawet wtedy, gdy rachunki są poprawne.

Weźmy boki $3$, $4$, $5$. Trójkąt istnieje, bo $3+4>5$. Następnie sprawdzamy: $3^2+4^2=9+16=25=5^2$. To znaczy, że jest to trójkąt prostokątny. Ponieważ wszystkie boki są różne, jest też różnoboczny.

Dla boków $7$, $8$, $9$ mamy $7+8>9$, więc trójkąt istnieje. Dalej: $7^2+8^2=49+64=113$, a $9^2=81$, więc $113>81$. Taki trójkąt jest ostrokątny.

Dla boków $6$, $8$, $11$ zachodzi $6+8>11$, więc trójkąt istnieje. Obliczamy: $6^2+8^2=36+64=100$, a $11^2=121$, zatem $100<121$. Jest to więc trójkąt rozwartokątny.

W zadaniach najlepiej stosować stały schemat postępowania. Dzięki temu łatwiej uniknąć pomyłek rachunkowych i logicznych.

• Uporządkuj długości boków od najmniejszej do największej.
• Sprawdź warunek istnienia trójkąta, czyli czy suma dwóch krótszych boków jest większa od najdłuższego.
• Oceń, czy są równe boki: trzy równe, dwa równe czy wszystkie różne.
• Porównaj $a^2+b^2$ z $c^2$, gdzie $c$ jest najdłuższym bokiem.
• Sformułuj pełną odpowiedź, na przykład: „trójkąt różnoboczny prostokątny” albo „trójkąt równoramienny ostrokątny”.

Taki zapis jest szczególnie przydatny w zadaniach otwartych, gdzie trzeba nie tylko podać wynik, ale też uzasadnić go obliczeniami. Warto pisać wszystkie nierówności i równości wyraźnie, bo za samo stwierdzenie bez uzasadnienia można nie dostać pełnej liczby punktów.