Twierdzenie cosinusów

Twierdzenie cosinusów to jedna z najważniejszych zależności w planimetrii. Łączy długości boków trójkąta z cosinusem kąta i pozwala obliczać brakujący bok albo kąt wtedy, gdy nie wystarcza samo twierdzenie Pitagorasa. Dla trójkąta o bokach $a$, $b$, $c$ oraz kącie $\gamma$ naprzeciw boku $c$ zachodzi wzór $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$.

Analogicznie zapisujemy też pozostałe wersje:

• $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha$
• $b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta$
• $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$

W każdym wzorze bardzo ważne jest dopasowanie elementów: bok z lewej strony leży naprzeciw odpowiedniego kąta, a kąt przy cosinusie jest zawarty między dwoma bokami stojącymi przy iloczynie. To najczęstsze miejsce pomyłek.

Twierdzenie cosinusów jest uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa. Jeśli w trójkącie kąt $\gamma$ jest prosty, to $\cos 90^\circ=0$. Wtedy wzór przyjmuje postać $c^2=a^2+b^2$, czyli dokładnie wzór Pitagorasa.

To oznacza, że twierdzenie Pitagorasa działa tylko w trójkącie prostokątnym, a twierdzenie cosinusów w dowolnym trójkącie. Dzięki temu można rozwiązywać zadania, w których występują kąty ostre i rozwarte.

Ta zależność jest przydatna także przy rozpoznawaniu rodzaju trójkąta. Gdy porównujemy kwadrat najdłuższego boku z sumą kwadratów dwóch pozostałych, otrzymujemy informacje o największym kącie:

• jeśli $c^2=a^2+b^2$, trójkąt jest prostokątny,
• jeśli $c^2<a^2+b^2$, trójkąt jest ostrokątny,
• jeśli $c^2>a^2+b^2$, trójkąt jest rozwartokątny.

Jeśli znasz dwa boki i kąt między nimi, najwygodniej obliczyć trzeci bok z twierdzenia cosinusów. Schemat jest prosty: zapisujesz odpowiednią wersję wzoru, podstawiasz dane, obliczasz wartość kwadratu szukanego boku, a na końcu wyciągasz pierwiastek.

Jeśli znasz trzy boki, możesz obliczyć kąt. Wtedy przekształcamy wzór, na przykład do postaci $\cos\gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$. Najpierw wyznacza się wartość cosinusa, a potem odczytuje miarę kąta.

W zadaniach trzeba zwracać uwagę na kilka rzeczy:

• długości boków muszą być dodatnie,
• szukany bok po obliczeniu $c^2$ wybieramy jako dodatni,
• kąt dobieramy zgodnie z położeniem boków,
• przy obliczaniu kąta warto sprawdzić, czy otrzymany cosinus należy do przedziału $[-1{,}1]$.

Twierdzenie cosinusów pozwala nie tylko liczyć długości, ale też badać charakter największego kąta. W praktyce bierzemy najdłuższy bok, oznaczamy go zwykle przez $c$, a następnie porównujemy $c^2$ z $a^2+b^2$.

Dlaczego to działa? Ze wzoru $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$ widać, że znak liczby $\cos\gamma$ wpływa na porównanie obu stron:

• dla kąta ostrego mamy dodatni cosinus, więc $c^2<a^2+b^2$,
• dla kąta prostego mamy cosinus równy zero, więc $c^2=a^2+b^2$,
• dla kąta rozwartego mamy ujemny cosinus, więc $c^2>a^2+b^2$.

To bardzo częsty typ zadania maturalnego: bez liczenia wszystkich kątów trzeba wskazać, czy trójkąt jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny. Wystarczy poprawnie wybrać najdłuższy bok i wykonać porównanie.

Na poziomie liceum twierdzenie cosinusów pojawia się głównie w trzech sytuacjach. Po pierwsze, w zadaniach rachunkowych, gdzie trzeba wyznaczyć trzeci bok trójkąta z danych dwóch boków i kąta zawartego. Po drugie, w zadaniach odwrotnych, gdy z danych trzech boków oblicza się miarę kąta. Po trzecie, w zadaniach na klasyfikację trójkąta.

Często trzeba też połączyć twierdzenie cosinusów z innymi wiadomościami, na przykład z wzorem na pole trójkąta $P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma$ albo z własnościami figur wpisanych w bardziej złożone rysunki. Wtedy najpierw wyznacza się brakujący bok lub kąt, a potem przechodzi do kolejnego etapu.

Typowe błędy uczniów:

• użycie niewłaściwego kąta do danego boku,
• pominięcie minusa w składniku $-2ab\cos\gamma$,
• brak pierwiastka na końcu, gdy obliczono już $c^2$,
• porównywanie złego boku przy badaniu rodzaju trójkąta.

Warto ćwiczyć zapis wzoru w różnych wersjach, bo sama znajomość jednej postaci nie zawsze wystarcza do szybkiego rozwiązania zadania.