Twierdzenie odwrotne do Pitagorasa

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa służy do rozpoznawania rodzaju trójkąta na podstawie długości jego boków. Jeśli w trójkącie o bokach $a$, $b$, $c$ spełniona jest równość $a^2+b^2=c^2$, to trójkąt jest prostokątny, pod warunkiem że $c$ jest najdłuższym bokiem.

To twierdzenie jest „odwrotne”, ponieważ nie zaczynamy od informacji o kącie prostym, tylko od relacji między długościami boków. W praktyce oznacza to, że z samych liczb możemy wywnioskować, jaki jest trójkąt.

W liceum używa się szerszej zasady związanej z twierdzeniem cosinusów. Dla trójkąta o bokach $a$, $b$, $c$, gdzie $c$ jest bokiem najdłuższym, porównujemy liczby $a^2+b^2$ oraz $c^2$.

• jeśli $a^2+b^2=c^2$, trójkąt jest prostokątny,
• jeśli $a^2+b^2>c^2$, trójkąt jest ostrokątny,
• jeśli $a^2+b^2<c^2$, trójkąt jest rozwartokątny.

Ta reguła działa dlatego, że największy kąt leży naprzeciw najdłuższego boku. To właśnie ten kąt decyduje o tym, czy cały trójkąt jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny.

Zanim zastosujesz twierdzenie odwrotne do Pitagorasa, trzeba sprawdzić, czy z podanych długości w ogóle można zbudować trójkąt. Obowiązuje tu warunek trójkąta: suma długości każdych dwóch boków musi być większa od długości trzeciego.

Najczęściej wystarczy sprawdzić, czy suma dwóch krótszych boków jest większa od najdłuższego. Jeśli nie, to figura nie istnieje i nie ma sensu badać jej rodzaju.

Przykładowo z długości $2$, $2$, $5$ nie da się zbudować trójkąta, bo $2+2<5$. W takim zadaniu nie wolno już mówić o trójkącie prostokątnym, ostrym ani rozwartym.

W zadaniach maturalnych najlepiej działa prosty algorytm.

• Uporządkuj boki od najmniejszego do największego.
• Sprawdź warunek trójkąta.
• Oznacz najdłuższy bok jako $c$.
• Oblicz $a^2+b^2$ oraz $c^2$.
• Porównaj otrzymane wartości i wyciągnij wniosek o rodzaju trójkąta.

Taki schemat porządkuje rachunki i zmniejsza ryzyko pomyłki. Częstym błędem jest porównywanie niewłaściwych boków albo zapomnienie, że trzeba użyć kwadratów, a nie samych długości.

Dla boków $5$, $5$, $6$ najdłuższy bok to $6$. Liczymy: $5^2+5^2=25+25=50$, a $6^2=36$. Ponieważ $50>36$, trójkąt jest ostrokątny.

Dla boków $3$, $4$, $6$ mamy $3^2+4^2=9+16=25$, a $6^2=36$. Tym razem $25<36$, więc trójkąt jest rozwartokątny.

Dla boków $8$, $15$, $17$ zachodzi $8^2+15^2=64+225=289=17^2$, więc to trójkąt prostokątny. Takie zestawy długości nazywa się często praktycznie trójkami pitagorejskimi.

Warto pamiętać, że równość daje przypadek dokładny, a nierówności służą do rozpoznawania sytuacji „ostrzejszej” lub „bardziej rozwartej” od kąta prostego.

Najczęstszy błąd to niewskazanie najdłuższego boku przed podstawieniem do wzoru. Jeśli źle wybierzesz bok $c$, możesz otrzymać poprawne rachunki, ale błędny wniosek.

Drugi błąd to pominięcie warunku trójkąta. Czasem zadanie celowo podaje liczby, które nie tworzą trójkąta, aby sprawdzić uważność.

Trzeci problem to mylenie twierdzenia odwrotnego do Pitagorasa z samym twierdzeniem Pitagorasa. W zwykłym twierdzeniu wiadomo już, że trójkąt jest prostokątny i obliczamy bok. W twierdzeniu odwrotnym z długości boków dopiero rozpoznajemy rodzaj trójkąta.

Na egzaminie warto zapisywać pełny wniosek, np. „Ponieważ $a^2+b^2<c^2$, trójkąt jest rozwartokątny”. Taki zapis pokazuje zarówno obliczenia, jak i rozumowanie.