Okrąg: promienie, cięciwy i odcinki styczne

Okrąg to zbiór punktów płaszczyzny położonych w jednakowej odległości od jednego punktu, czyli środka okręgu. Ta stała odległość to promień i oznaczamy ją zwykle przez $r$. Odcinek łączący środek z punktem okręgu także nazywamy promieniem.

Cięciwa to odcinek łączący dwa punkty okręgu. Szczególnym przypadkiem cięciwy jest średnica, czyli cięciwa przechodząca przez środek. Jej długość wynosi $2r$, więc średnica jest zawsze dwa razy dłuższa od promienia.

W zadaniach trzeba bardzo uważnie odróżniać pojęcia: promień łączy środek z okręgiem, a cięciwa łączy dwa punkty okręgu. Średnica jest jednocześnie cięciwą, ale nie każda cięciwa jest średnicą.

Jedna z najważniejszych własności mówi, że jeśli ze środka okręgu poprowadzimy prostą prostopadłą do cięciwy, to podzieli ona tę cięciwę na dwie równe części. Dzięki temu wiele zadań sprowadza się do rozpatrzenia trójkąta prostokątnego i użycia twierdzenia Pitagorasa.

Jeżeli znamy promień okręgu i odległość środka od cięciwy, to możemy obliczyć połowę długości cięciwy. Gdy środek oznaczymy przez $O$, punkt przecięcia prostopadłej z cięciwą przez $M$, a koniec cięciwy przez $A$, to w trójkącie prostokątnym zachodzi zależność

$$OA^2 = OM^2 + AM^2.$$

Stąd długość całej cięciwy jest równa $2AM$.

W tym samym okręgu obowiązuje ważna zależność: równe cięciwy są jednakowo odległe od środka, a cięciwy jednakowo odległe od środka są równe. Dodatkowo dłuższa cięciwa leży bliżej środka, a krótsza dalej od środka.

Styczna to prosta, która ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny. Ten punkt nazywamy punktem styczności. Najważniejsza własność brzmi: promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej.

Jeżeli więc okrąg ma środek $O$, a styczna dotyka go w punkcie $T$, to $OT \perp l$, gdzie $l$ oznacza styczną. W praktyce oznacza to, że w figurach z promieniem i styczną często pojawia się kąt prosty, co pozwala stosować twierdzenie Pitagorasa.

Działa też zależność odwrotna: jeśli prosta przechodząca przez punkt okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do tego punktu, to ta prosta jest styczna do okręgu. To przydaje się przy uzasadnianiu, że dana prosta naprawdę jest styczną.

W zadaniach maturalnych często trzeba rozpoznać, gdzie dokładnie występuje kąt $90^\circ$. Zwykle jest on między promieniem a styczną, a nie między dowolnym odcinkiem związanym z okręgiem.

Jeśli z punktu leżącego na zewnątrz okręgu poprowadzimy dwie styczne do okręgu, to otrzymane odcinki styczne mają równe długości. Gdy punkt zewnętrzny oznaczymy przez $P$, a punkty styczności przez $A$ i $B$, wtedy zachodzi $PA = PB$.

Ta własność jest bardzo ważna w zadaniach dowodowych i rachunkowych. Pozwala ona zapisywać równości długości w trójkątach i czworokątach oraz upraszczać obliczenia.

Jeżeli dodatkowo połączymy punkt zewnętrzny $P$ ze środkiem okręgu $O$ oraz z punktem styczności $T$, to trójkąt $OPT$ jest prostokątny, ponieważ promień $OT$ jest prostopadły do stycznej $PT$. Wtedy można użyć wzoru

$$OP^2 = OT^2 + PT^2.$$

Znając długość $OP$ i promień $OT=r$, obliczamy długość odcinka stycznego $PT$.

W zadaniach o cięciwach najczęściej znamy promień oraz odległość środka od cięciwy albo odwrotnie — znamy promień i długość cięciwy. W obu sytuacjach rozpatrujemy trójkąt prostokątny złożony z promienia, odległości od środka do cięciwy i połowy cięciwy.

Przykładowy schemat:

• oblicz połowę cięciwy,
• zapisz twierdzenie Pitagorasa,
• na końcu pomnóż wynik przez $2$, jeśli trzeba wyznaczyć całą cięciwę.

W zadaniach o stycznej typowy schemat jest podobny:

• zaznacz punkt styczności,
• zauważ prostopadłość promienia do stycznej,
• ułóż trójkąt prostokątny,
• zastosuj twierdzenie Pitagorasa.

Warto też pamiętać o zadaniach porównawczych. Jeśli dwie cięciwy w tym samym okręgu mają tę samą długość, to są równie odległe od środka. Jeżeli jedna cięciwa jest dłuższa, to leży bliżej środka. Takie pytania często sprawdzają rozumienie własności, a nie tylko liczenie.

Najczęstszy błąd to mylenie okręgu z kołem. W geometrii szkolnej okrąg to tylko linia będąca brzegiem, a koło to obszar ograniczony przez okrąg. W zadaniach o stycznych i cięciwach zwykle pracujemy właśnie z okręgiem.

Drugi częsty błąd to nieuwzględnienie, że prostopadła ze środka dzieli cięciwę na połowy. Jeśli w obliczeniach użyjesz całej cięciwy zamiast połowy, wynik będzie błędny.

Trzeci błąd pojawia się przy stycznych: uczniowie czasem zaznaczają kąt prosty między środkiem a punktem zewnętrznym. Tymczasem kąt prosty jest między promieniem do punktu styczności a styczną.

Na maturze warto zawsze wykonać staranny rysunek i zaznaczyć na nim: środek, promień, punkt styczności, odcinki równe oraz kąty proste. Dobrze opisany rysunek często od razu podpowiada właściwą zależność i pozwala uniknąć błędu rachunkowego.