Trygonometria kątów od $0^\circ$ do $180^\circ$

Funkcje trygonometryczne opisują zależności między bokami i kątami, przede wszystkim w trójkącie prostokątnym. W liceum na poziomie podstawowym pracuje się głównie z sinusem, cosinusem i tangensem dla kątów od $0^\circ$ do $180^\circ$.

Dla kąta ostrego $\alpha$ w trójkącie prostokątnym:

• $\sin\alpha=\frac{\text{przyprostokątna naprzeciw kąta}}{\text{przeciwprostokątna}}$
• $\cos\alpha=\frac{\text{przyprostokątna przy kącie}}{\text{przeciwprostokątna}}$
• $\tg\alpha=\frac{\text{przyprostokątna naprzeciw kąta}}{\text{przyprostokątna przy kącie}}$

Te definicje pozwalają obliczać długości boków i miary kątów w zadaniach geometrycznych. Trzeba dobrze rozróżniać przeciwprostokątną, bok naprzeciw kąta i bok przy kącie, bo to najczęstsze źródło błędów.

Aby rozszerzyć pojęcie funkcji trygonometrycznych poza kąty ostre, korzysta się z okręgu jednostkowego, czyli okręgu o promieniu $1$ i środku w początku układu współrzędnych. Jeśli promień tworzy z dodatnim kierunkiem osi $Ox$ kąt $\alpha$, to punkt przecięcia z okręgiem ma współrzędne $(\cos\alpha,\sin\alpha)$.

Dzięki temu:

• cosinus odczytujemy jako współrzędną poziomą punktu,
• sinus odczytujemy jako współrzędną pionową punktu,
• tangens liczymy ze wzoru $\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, jeśli ma sens.

Dla kątów od $0^\circ$ do $180^\circ$ szczególnie ważne są znaki funkcji:

• w przedziale $(0^\circ,90^\circ)$: sinus, cosinus i tangens są dodatnie,
• w przedziale $(90^\circ,180^\circ)$: sinus jest dodatni, cosinus ujemny, tangens ujemny.

Kąty graniczne trzeba znać dokładnie: $\sin 0^\circ=0$, $\cos 0^\circ=1$, $\sin 90^\circ=1$, $\cos 90^\circ=0$, $\sin 180^\circ=0$, $\cos 180^\circ=-1$. Z tego wynika też, że $\tg 90^\circ$ nie istnieje.

Najczęściej wykorzystywane są wartości funkcji dla kątów $30^\circ$, $45^\circ$ i $60^\circ$. Trzeba je znać na pamięć, bo często pojawiają się bezpośrednio w zadaniach.

• $\sin 30^\circ=\frac{1}{2}$, $\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tg 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}$
• $\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tg 45^\circ=1$
• $\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 60^\circ=\frac{1}{2}$, $\tg 60^\circ=\sqrt{3}$

Warto zwrócić uwagę, że dla kąta $45^\circ$ sinus i cosinus są równe. Dla kątów $30^\circ$ i $60^\circ$ wartości sinusa i cosinusa „zamieniają się miejscami”.

Podstawową tożsamością jest jedynka trygonometryczna:

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$

Pozwala ona obliczyć jedną z funkcji, gdy znamy drugą. Na przykład jeśli znamy sinus, to możemy wyznaczyć cosinus, pamiętając jeszcze o odpowiednim znaku zależnym od przedziału, w którym leży kąt.

Drugą ważną zależnością jest wzór:

$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$

Umożliwia on obliczenie tangensa na podstawie sinusa i cosinusa.

Przykład rozumowania: jeśli $\cos\alpha=-\frac{1}{2}$ i $\alpha\in(90^\circ,180^\circ)$, to z jedynki trygonometrycznej otrzymujemy $\sin^2\alpha=\frac{3}{4}$, czyli $\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$, bo w II ćwiartce sinus jest dodatni.

Dla kątów z przedziału od $0^\circ$ do $180^\circ$ bardzo użyteczne są związki z kątem $180^\circ-\alpha$. Pozwalają szybko obliczać wartości funkcji dla kątów rozwartych na podstawie wartości dla kątów ostrych.

Obowiązują wzory:

• $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$
• $\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$
• $\tg(180^\circ-\alpha)=-\tg\alpha$

W praktyce oznacza to na przykład:

• $\sin 120^\circ=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\cos 120^\circ=-\cos 60^\circ=-\frac{1}{2}$
• $\tg 135^\circ=-\tg 45^\circ=-1$

To bardzo ważne, bo w zadaniach często pojawiają się kąty $120^\circ$, $135^\circ$ i $150^\circ$. Uczeń powinien umieć od razu rozpoznać, jaki kąt ostry im odpowiada i jaki będzie znak funkcji.

Funkcje trygonometryczne służą do obliczania długości boków, pól figur i miar kątów. W trójkącie prostokątnym znając kąt i jeden bok, można wyznaczyć pozostałe boki. Często pojawiają się też zadania polegające na odczytaniu znaku funkcji, wyznaczeniu brakującej wartości z tożsamości albo uproszczeniu wyrażenia.

Typowe polecenia maturalne:

• oblicz wartość wyrażenia z sinusem, cosinusem lub tangensem dla kąta szczególnego,
• wyznacz brakującą funkcję, gdy znasz jedną z nich i przedział dla kąta,
• oceń znak funkcji dla kąta z II ćwiartki,
• zastosuj definicję funkcji trygonometrycznej w trójkącie prostokątnym,
• rozpoznaj, że $\sin(180^\circ-\alpha)$ ma tę samą wartość co $\sin\alpha$.

Przy rozwiązywaniu zadań warto działać w kolejności: ustalić, w jakim przedziale leży kąt, określić znak funkcji, dobrać odpowiedni wzór i dopiero wtedy wykonać obliczenia.