Systemy liczbowe - dwójkowy, szesnastkowy i zamiana

1.System pozycyjny

System zapisu liczb, w którym wartość cyfry zależy od jej miejsca w liczbie. Wartość liczby to suma iloczynów cyfr i wag ich pozycji, np. w liczbie 333 każda trójka znaczy co innego: 300, 30 i 3.

2.Podstawa systemu pozycyjnego

Liczba różnych cyfr używanych w systemie. System o podstawie $p$ używa cyfr od 0 do $p - 1$, np. dwójkowy: 0 i 1, ósemkowy: 0-7. Podstawę zapisuje się w indeksie: $1011_{(2)}$, $157_{(8)}$.

3.Waga pozycji

Liczba, przez którą mnoży się cyfrę stojącą na danym miejscu. Pozycje numeruje się od 0 od prawej strony, a pozycja $k$ ma wagę $p^k$, gdzie $p$ to podstawa systemu: $1, p, p^2, p^3, \ldots$

4.System dwójkowy (binarny)

System pozycyjny o podstawie 2 z cyframi 0 i 1. Kolejne wagi to potęgi dwójki: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024. Komputer zapisuje w nim wszystkie dane, bo układy elektroniczne łatwo rozróżniają dwa stany.

5.Wartość dziesiętna liczby dwójkowej

Każdą cyfrę mnożymy przez wagę jej pozycji (potęgę dwójki) i sumujemy wyniki. W praktyce dodajemy wagi tych pozycji, na których stoi 1, np. $1101_{(2)} = 8 + 4 + 1 = 13$.

6.Zapis dwójkowy liczby dziesiętnej

Liczbę dzielimy przez 2 z resztą, potem dzielimy iloraz, aż iloraz będzie równy 0. Reszty (0 albo 1) odczytujemy od ostatniej do pierwszej - ostatnia reszta to najstarsza cyfra wyniku.

7.Zamiana dziesiętnej na system o podstawie p

Tak samo jak na dwójkowy, ale dzielimy przez $p$: liczbę i kolejne ilorazy dzielimy przez $p$ z resztą, aż iloraz będzie 0, a reszty odczytujemy od ostatniej. Każda reszta jest cyfrą od 0 do $p - 1$.

8.Parzystość i mnożenie przez 2 w systemie dwójkowym

Liczba dwójkowa jest parzysta, gdy kończy się cyfrą 0, a nieparzysta, gdy kończy się cyfrą 1. Dopisanie 0 na końcu mnoży liczbę przez 2, a skreślenie ostatniej cyfry daje wynik dzielenia przez 2 bez reszty.

9.System szesnastkowy (heksadecymalny)

System pozycyjny o podstawie 16. Ma cyfry 0-9 oraz litery A-F o wartościach A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15. Wagi pozycji: 1, 16, 256, 4096.

10.Zamiana liczby szesnastkowej na dziesiętną

Każdą cyfrę zamieniamy na jej wartość (litery A-F to 10-15), mnożymy przez wagę pozycji (1, 16, 256…) i sumujemy, np. $2F_{(16)} = 2 \cdot 16 + 15 = 47$.

11.Zamiana liczby dziesiętnej na szesnastkową

Liczbę i kolejne ilorazy dzielimy przez 16 z resztą, aż iloraz będzie 0. Reszty od 10 do 15 zapisujemy literami A-F, a wynik odczytujemy od ostatniej reszty.

12.Zamiana dwójkowy → szesnastkowy

Bity dzielimy na grupy po 4 od prawej strony, w razie potrzeby uzupełniamy ostatnią grupę zerami z lewej, a każdą czwórkę zamieniamy na jedną cyfrę szesnastkową. Działa to, bo $16 = 2^4$.

13.Zamiana szesnastkowy → dwójkowy

Każdą cyfrę szesnastkową zapisujemy jako cztery bity (z zerami na początku), np. 3 = 0011, A = 1010, F = 1111, a czwórki łączymy w tej samej kolejności. Zera na początku całej liczby można pominąć.

14.System ósemkowy (oktalny)

System pozycyjny o podstawie 8 z cyframi 0-7. Wagi pozycji to 1, 8, 64, 512. Cyfry 8 i 9 w nim nie występują.

15.Zamiana dwójkowy ↔ ósemkowy

Bity dzielimy na grupy po 3 od prawej strony (ostatnią grupę uzupełniamy zerami z lewej) i każdą trójkę zamieniamy na cyfrę 0-7. W drugą stronę każdą cyfrę ósemkową zapisujemy jako trzy bity. Działa to, bo $8 = 2^3$.

16.Zamiana między ósemkowym a szesnastkowym

Najprościej przez system dwójkowy: każdą cyfrę ósemkową zamieniamy na 3 bity, a potem bity dzielimy na czwórki od prawej i zamieniamy na cyfry szesnastkowe (w drugą stronę odwrotnie).

17.Bit

Najmniejsza jednostka informacji: jedna cyfra dwójkowa, która przyjmuje wartość 0 albo 1. Oznaczenie: b.

18.Bajt

Jednostka informacji równa 8 bitom (oznaczenie: B). Jeden bajt może przyjąć $2^8 = 256$ różnych wartości, np. liczby od 0 do 255. Dwie cyfry szesnastkowe opisują dokładnie jeden bajt (od 00 do FF).

19.Zakres liczb bez znaku na n bitach

Na $n$ bitach można zapisać $2^n$ różnych wartości, czyli liczby naturalne od 0 do $2^n - 1$. Największa liczba to same jedynki, np. na 8 bitach $11111111_{(2)} = 255$.

20.Kilobajt i kibibajt

Przedrostki układu SI oznaczają potęgi 10: 1 kB = 1000 B, 1 MB = 1000 kB. Przedrostki dwójkowe oznaczają potęgi 2: 1 KiB = 1024 B ($2^{10}$), 1 MiB = 1024 KiB. Oznaczenia KB i MB bywają też używane w znaczeniu 1024.

21.Dodawanie liczb dwójkowych

Dodajemy pisemnie od prawej, jak w dziesiętnym: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 10 (piszemy 0 i przenosimy 1), 1 + 1 + 1 = 11 (piszemy 1 i przenosimy 1).

22.Kod U2 (uzupełnień do dwóch)

Sposób zapisu liczb całkowitych, także ujemnych, na stałej liczbie bitów $n$. Najstarszy (skrajnie lewy) bit ma wagę ujemną $-2^{n-1}$, a pozostałe bity zwykłe wagi dodatnie, np. na 8 bitach wagi to -128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1.

23.Znak liczby w kodzie U2

O znaku decyduje najstarszy bit: 0 oznacza liczbę nieujemną (zapis taki sam jak zwykły dwójkowy), a 1 - liczbę ujemną. Na przykład na 8 bitach 11111111 to -1, a 10000000 to -128.

24.Zapis liczby ujemnej w kodzie U2

Wartość bezwzględną liczby zapisujemy dwójkowo na $n$ bitach, odwracamy wszystkie bity (0 na 1, 1 na 0) i dodajemy 1. Na przykład -5 na 8 bitach: 00000101 → 11111010 → 11111011.

25.Zakres liczb w kodzie U2 na n bitach

Od $-2^{n-1}$ do $2^{n-1} - 1$. Na 8 bitach jest to zakres od -128 do 127, a na 16 bitach - od -32768 do 32767. Liczb ujemnych (na 8 bitach 128) jest o jedną więcej niż dodatnich (127), bo zero zajmuje jeden z układów z najstarszym bitem 0.

26.Zapis koloru RGB w postaci szesnastkowej

Kolor zapisuje się jako #RRGGBB: po dwie cyfry szesnastkowe (jeden bajt, wartość 0-255) na składową czerwoną, zieloną i niebieską. Na przykład #FF0000 to czerwony, #000000 - czarny, a #FFFFFF - biały.

27.Liczba kolorów w modelu RGB

Każda z trzech składowych zajmuje 8 bitów, więc kolor zajmuje 24 bity. Można zapisać $2^{24} = 256^3 = 16\,777\,216$ różnych kolorów.

28.Kod ASCII

Standard kodowania znaków, w którym każdy znak ma liczbę od 0 do 127 (7 bitów, 128 znaków): litery łacińskie, cyfry, znaki interpunkcyjne i znaki sterujące. Polskich liter z ogonkami w nim nie ma.

29.Najważniejsze kody ASCII

Spacja ma kod 32, cyfra '0' - 48, wielka litera 'A' - 65, mała litera 'a' - 97. Kolejne cyfry i litery mają kolejne kody, np. 'B' = 66, 'b' = 98, '9' = 57.