Równania kwadratowe

1.Równanie kwadratowe

Równanie jednej niewiadomej, które można zapisać w postaci $ax^2+bx+c=0$, gdzie $a\neq 0$. Najwyższa potęga niewiadomej to $2$.

2.Postać ogólna równania kwadratowego

$ax^2+bx+c=0$, gdzie $a$, $b$, $c$ są liczbami rzeczywistymi oraz $a\neq 0$. Współczynniki $a$, $b$, $c$ decydują o liczbie i wartościach rozwiązań.

3.Współczynnik $a$

Liczba stojąca przy $x^2$ w równaniu kwadratowym. Nie może być równa $0$, bo wtedy równanie przestałoby być kwadratowe.

4.Wyróżnik

Wielkość obliczana ze wzoru $\Delta=b^2-4ac$. Pozwala ustalić liczbę pierwiastków równania kwadratowego.

5.Gdy $\Delta>0$

Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste. Oblicza się je ze wzorów $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ oraz $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

6.Gdy $\Delta=0$

Równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek podwójny: $x_0=\frac{-b}{2a}$. Oznacza to, że oba pierwiastki zlewają się w jeden.

7.Gdy $\Delta<0$

Równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych. W zbiorze liczb rzeczywistych nie da się wtedy podać rozwiązania.

8.Wzory na pierwiastki

Dla $\Delta\geq 0$ pierwiastki równania $ax^2+bx+c=0$ wyznaczamy ze wzorów $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$.

9.Pierwiastek podwójny

Sytuacja, gdy równanie ma jedno rozwiązanie rzeczywiste, ale liczone podwójnie. Występuje wtedy, gdy $\Delta=0$.

10.Równanie niepełne typu $ax^2+c=0$

To równanie kwadratowe bez składnika z $x$, czyli z $b=0$. Rozwiązujemy je zwykle przez przekształcenie do postaci $x^2=\text{liczba}$.

11.Równanie niepełne typu $ax^2+bx=0$

To równanie kwadratowe bez wyrazu wolnego, czyli z $c=0$. Najwygodniej wyłączyć $x$ przed nawias: $x(ax+b)=0$.

12.Metoda rozkładu na czynniki

Polega na zapisaniu lewej strony równania jako iloczynu, np. $(x-2)(x+3)=0$, a następnie skorzystaniu z zasady: jeśli iloczyn jest równy $0$, to co najmniej jeden czynnik jest równy $0$.

13.Suma pierwiastków

Jeśli $x_1$ i $x_2$ są pierwiastkami równania $ax^2+bx+c=0$, to $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$. To jeden ze wzorów Viète’a.

14.Iloczyn pierwiastków

Jeśli $x_1$ i $x_2$ są pierwiastkami równania $ax^2+bx+c=0$, to $x_1x_2=\frac{c}{a}$. To drugi podstawowy wzór Viète’a.