Logarytmy i ich własności

1.Logarytm

Logarytm liczby dodatniej $b$ przy podstawie $a$ to wykładnik potęgi, do której trzeba podnieść $a$, aby otrzymać $b$. Zapis: $\log_a b=c \iff a^c=b$, gdzie $a>0$, $a\neq 1$, $b>0$.

2.Warunki logarytmu

Wyrażenie $\log_a b$ ma sens tylko wtedy, gdy podstawa spełnia $a>0$ i $a\neq 1$, a liczba logarytmowana spełnia $b>0$. Te warunki trzeba zawsze sprawdzać w zadaniach.

3.Definicja równoważna

Zależność $\log_a b=c$ jest równoważna równości wykładniczej $a^c=b$. Dzięki temu można zamieniać zapis logarytmiczny na potęgowy i odwrotnie.

4.$\log_a 1$

Dla każdej dopuszczalnej podstawy $a$ zachodzi $\log_a 1=0$, ponieważ $a^0=1$.

5.$\log_a a$

Dla każdej dopuszczalnej podstawy $a$ mamy $\log_a a=1$, bo $a^1=a$.

6.Logarytm iloczynu

Dla $x>0$ i $y>0$ zachodzi $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$. Logarytm zamienia mnożenie na dodawanie.

7.Logarytm ilorazu

Dla $x>0$ i $y>0$ zachodzi $\log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y$. Logarytm zamienia dzielenie na odejmowanie.

8.Logarytm potęgi

Dla $x>0$ oraz liczby rzeczywistej $r$ zachodzi $\log_a(x^r)=r\log_a x$. Wykładnik można „wyciągnąć” przed logarytm.

9.Zmiana podstawy

Jeśli $a,b,c>0$ oraz $a\neq1$, $b\neq1$, $c\neq1$, to $\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$. W praktyce często używa się podstawy $10$ lub $e$.

10.Logarytm dziesiętny

Logarytm dziesiętny ma podstawę $10$: $\log x$ lub dokładniej $\log_{10}x$. W szkole często zapis $\log x$ oznacza właśnie podstawę $10$.

11.Logarytm naturalny

Logarytm naturalny to $\ln x=\log_e x$, gdzie $e$ jest liczbą Eulera. W liceum pojawia się głównie jako szczególny rodzaj logarytmu.

12.Monotoniczność logarytmu

Funkcja $y=\log_a x$ dla $a>1$ jest rosnąca, a dla $0<a<1$ jest malejąca. To ważne przy porównywaniu logarytmów i rozwiązywaniu nierówności.