Wektory na płaszczyźnie

1.Wektor

Wektor to obiekt mający kierunek, zwrot i długość. Na płaszczyźnie można go opisać za pomocą dwóch współrzędnych, np. \vec{v}=(a,b), które pokazują przesunięcie w poziomie i pionie.

2.Współrzędne wektora

Jeśli wektor przesuwa o $a$ jednostek w osi $x$ i o $b$ jednostek w osi $y$, to ma współrzędne \vec{v}=(a,b).

3.Wektor \vec{AB}

Dla punktów $A=(x_1,y_1)$ i $B=(x_2,y_2)$ mamy \vec{AB}=(x_2-x_1, y_2-y_1). Wektor ten opisuje przesunięcie z punktu $A$ do punktu $B$.

4.Długość wektora

Długość wektora \vec{v}=(a,b) obliczamy ze wzoru |\vec{v}|=\sqrt{a^2+b^2}. To odpowiednik twierdzenia Pitagorasa na płaszczyźnie.

5.Wektor zerowy

Wektor zerowy ma postać \vec{0}=(0,0). Jego długość wynosi $0$ i nie ma określonego kierunku ani zwrotu w zwykłym sensie geometrycznym.

6.Wektory równe

Dwa wektory są równe, gdy mają te same współrzędne, a więc ten sam kierunek, zwrot i długość. Ich położenie na płaszczyźnie nie ma znaczenia.

7.Wektory przeciwne

Wektory przeciwne mają ten sam kierunek i długość, ale przeciwny zwrot. Jeśli \vec{v}=(a,b), to wektor przeciwny to -\vec{v}=(-a,-b).

8.Dodawanie wektorów

Jeśli \vec{u}=(a,b) i \vec{v}=(c,d), to \vec{u}+\vec{v}=(a+c, b+d). Geometrycznie odpowiada to regule trójkąta lub równoległoboku.

9.Odejmowanie wektorów

Różnicę liczymy współrzędnie: \vec{u}-\vec{v}=(a-c, b-d). Odejmowanie można też traktować jako dodanie wektora przeciwnego.

10.Mnożenie wektora przez skalar

Dla liczby $k$ i wektora \vec{v}=(a,b) mamy k\vec{v}=(ka, kb). Gdy $k>0$, zwrot się nie zmienia, a gdy $k<0$, zwrot jest przeciwny.

11.Wektory równoległe

Wektory są równoległe, gdy jeden jest wielokrotnością drugiego, czyli istnieje liczba $k$, taka że \vec{u}=k\vec{v}. Dla niezerowych wektorów ich współrzędne są proporcjonalne.

12.Iloczyn skalarny

Dla \vec{u}=(a,b) i \vec{v}=(c,d) iloczyn skalarny to \vec{u}\cdot\vec{v}=ac+bd. Służy m.in. do badania prostopadłości: dla wektorów niezerowych prostopadłych iloczyn skalarny wynosi $0$.