Siła sprężystości i wydłużenie

Gdy ciało zostaje rozciągnięte, ściśnięte lub zgięte, może pojawić się siła sprężystości. Jest to siła, która przeciwdziała odkształceniu i dąży do przywrócenia ciała do jego wcześniejszego stanu. W szkolnych przykładach najczęściej analizuje się sprężynę, ale podobne zjawisko występuje też w gumce, łuku czy niektórych elementach konstrukcyjnych.

Jeżeli po usunięciu siły zewnętrznej ciało wraca do początkowego kształtu, mówimy o odkształceniu sprężystym. Jeśli nie wraca całkowicie, pojawia się odkształcenie trwałe i prosty model szkolny przestaje działać.

Ważne jest też rozumienie kierunku tej siły. Siła sprężystości jest zawsze skierowana tak, by zmniejszać odkształcenie: dla rozciągniętej sprężyny będzie „ciągnęła z powrotem”, a dla ściśniętej będzie „odpychała” ku długości początkowej.

Podstawową wielkością w tym temacie jest wydłużenie sprężyny, oznaczane jako $\Delta l$. Nie jest to całkowita długość sprężyny po rozciągnięciu, lecz zmiana długości względem długości początkowej. Zapisujemy to jako $\Delta l = l - l_0$, gdzie $l_0$ to długość początkowa, a $l$ długość po odkształceniu.

W granicach odkształceń sprężystych obowiązuje prawo Hooke’a. Mówi ono, że wartość siły sprężystości jest wprost proporcjonalna do wydłużenia. Zależność tę zapisujemy wzorem $F_s = k\Delta l$.

Oznacza to, że jeśli wydłużenie wzrośnie dwa razy, to siła sprężystości również wzrośnie dwa razy. Jeśli wydłużenie będzie trzy razy większe, siła także wzrośnie trzy razy. Jest to klasyczny przykład proporcjonalności prostej.

Wielkość $k$ nazywamy współczynnikiem sprężystości. Informuje on, jak bardzo sztywna jest sprężyna. Im większe $k$, tym większa siła jest potrzebna do uzyskania tego samego wydłużenia. Taka sprężyna jest twardsza lub sztywniejsza.

Jednostką współczynnika sprężystości jest $\frac{N}{m}$. Wynika to bezpośrednio ze wzoru $k=\frac{F_s}{\Delta l}$, czyli ilorazu siły i wydłużenia.

Przykład interpretacji: jeśli sprężyna ma $k=200\,\frac{N}{m}$, to wydłużenie o $1\,m$ odpowiadałoby sile $200\,N$. W praktyce szkolnej zwykle rozważamy mniejsze wydłużenia, na przykład kilka centymetrów, które w obliczeniach należy zamieniać na metry.

Częsty błąd polega na nieuwzględnieniu jednostek. Jeśli w zadaniu wydłużenie podano w centymetrach, trzeba je przeliczyć na metry przed podstawieniem do wzoru.

Prawo Hooke’a nie obowiązuje dla dowolnie dużych odkształceń. Działa tylko wtedy, gdy ciało znajduje się w zakresie sprężystym. Oznacza to, że po usunięciu obciążenia wraca ono do poprzedniej długości lub kształtu, a zależność między siłą i wydłużeniem pozostaje liniowa.

Po przekroczeniu granicy sprężystości materiał może ulec trwałemu odkształceniu. Wtedy nie można już zakładać, że wzór $F_s = k\Delta l$ dokładnie opisuje sytuację. Na poziomie licealnym wystarczy pamiętać, że wzór działa tylko w odpowiednich warunkach.

W zadaniach szkolnych najczęściej jest to zapisane wprost albo wynika z kontekstu. Jeśli nic nie wskazuje inaczej, przyjmuje się zwykle, że sprężyna pracuje w zakresie, w którym prawo Hooke’a jest spełnione.

Jeśli narysujemy wykres zależności siły sprężystości od wydłużenia, to dla prawa Hooke’a otrzymamy prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych. To właśnie graficzny obraz proporcjonalności prostej.

Nachylenie tej prostej ma sens fizyczny: odpowiada ono współczynnikowi $k$. Im bardziej stromy wykres, tym większa sztywność sprężyny. Dwie sprężyny można więc porównać nie tylko ze wzoru, ale też patrząc na ich wykresy.

Na maturze lub sprawdzianie mogą pojawić się pytania typu: rozpoznaj, która sprężyna jest sztywniejsza, odczytaj wartość siły dla danego wydłużenia albo sprawdź, czy dane spełniają zależność liniową.

Najczęściej w zadaniach korzysta się bezpośrednio ze wzoru $F_s = k\Delta l$. Można z niego obliczyć każdą z trzech wielkości, jeśli znamy pozostałe dwie.

• aby obliczyć siłę, stosujemy $F_s = k\Delta l$
• aby obliczyć współczynnik sprężystości, stosujemy $k=\frac{F_s}{\Delta l}$
• aby obliczyć wydłużenie, stosujemy $\Delta l=\frac{F_s}{k}$

Ważna umiejętność to poprawne przeliczanie jednostek. Na przykład $5\,cm$ trzeba zapisać jako $0{,}05\,m$. Bez tego wynik będzie błędny, nawet jeśli wzór zostanie użyty poprawnie.

W praktyce spotykamy siłę sprężystości w amortyzatorach, wagach sprężynowych, zabawkach mechanicznych czy elementach zawieszenia. We wszystkich tych przykładach istotne jest to, że odkształcony element próbuje wrócić do stanu początkowego.