Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

1.Kąt ostry

Kąt o mierze większej niż $0^\circ$ i mniejszej niż $90^\circ$. W trygonometrii szkolnej funkcje kąta ostrego rozpatruje się najczęściej w trójkącie prostokątnym.

2.Trójkąt prostokątny

Trójkąt, który ma jeden kąt prosty, czyli $90^\circ$. To właśnie w nim definiuje się funkcje trygonometryczne kąta ostrego przez ilorazy długości boków.

3.Przeciwprostokątna

Najdłuższy bok w trójkącie prostokątnym, leżący naprzeciw kąta prostego. W definicjach $\sin$ i $\cos$ zawsze występuje w mianowniku.

4.Przyprostokątna naprzeciw kąta

Przyprostokątna leżąca naprzeciw rozpatrywanego kąta ostrego. Względem tego kąta pojawia się w liczniku przy definicji $\sin$.

5.Przyprostokątna przy kącie

Przyprostokątna, która tworzy dany kąt ostry razem z przeciwprostokątną. Względem tego kąta pojawia się w liczniku przy definicji $\cos$.

6.Sinus kąta ostrego

Dla kąta ostrego $\alpha$ w trójkącie prostokątnym: $\sin\alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciw }\alpha}{\text{przeciwprostokątna}}$. Sinus mówi, jaką część przeciwprostokątnej stanowi bok leżący naprzeciw kąta.

7.Cosinus kąta ostrego

Dla kąta ostrego $\alpha$: $\cos\alpha = \frac{\text{przyprostokątna przy }\alpha}{\text{przeciwprostokątna}}$. Cosinus porównuje bok przyległy do kąta z przeciwprostokątną.

8.Tangens kąta ostrego

Dla kąta ostrego $\alpha$: $\tg\alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciw }\alpha}{\text{przyprostokątna przy }\alpha}$. Tangens porównuje obie przyprostokątne.

9.Cotangens kąta ostrego

Dla kąta ostrego $\alpha$: $\ctg\alpha = \frac{\text{przyprostokątna przy }\alpha}{\text{przyprostokątna naprzeciw }\alpha}$. Jest odwrotnością tangensa, czyli $\ctg\alpha = \frac{1}{\tg\alpha}$.

10.Zależność $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

To podstawowa tożsamość trygonometryczna dla kąta ostrego. Wynika z twierdzenia Pitagorasa po podzieleniu przez kwadrat przeciwprostokątnej. Pozwala obliczyć jedną funkcję, gdy znamy drugą.

11.Związek tangensa z sinusem i cosinusem

Dla kąta ostrego zachodzi $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, o ile $\cos\alpha \ne 0$. Dzięki temu tangens można obliczyć, znając sinus i cosinus.

12.Wartości dla $30^\circ$

Dla kąta $30^\circ$: $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tg 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\ctg 30^\circ = \sqrt{3}$. To ważne wartości szczególne.

13.Wartości dla $45^\circ$

Dla kąta $45^\circ$: $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tg 45^\circ = 1$, $\ctg 45^\circ = 1$. Wynikają z własności trójkąta prostokątnego równoramiennego.

14.Wartości dla $60^\circ$

Dla kąta $60^\circ$: $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, $\tg 60^\circ = \sqrt{3}$, $\ctg 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$. To para odwrotna do wartości dla $30^\circ$.

15.Jak dobrać funkcję w zadaniu

Jeśli w zadaniu porównujesz bok z przeciwprostokątną, użyj $\sin$ albo $\cos$. Jeśli porównujesz dwie przyprostokątne, użyj $\tg$ albo $\ctg$. Najpierw zaznacz kąt i nazwij boki względem tego kąta.

16.Zastosowanie funkcji trygonometrycznych

Funkcje trygonometryczne służą do obliczania długości boków i miar kątów w trójkącie prostokątnym. Wykorzystuje się je też w geografii, fizyce, technice i przy pomiarach pośrednich.