Ciąg arytmetyczny i geometryczny

1.Ciąg liczbowy

Ciąg liczbowy to funkcja, która każdej liczbie naturalnej dodatniej (numerowi wyrazu) przyporządkowuje jedną liczbę, czyli wyraz ciągu. Wyrazy ciągu zapisujemy zwykle jako $a_1, a_2, a_3, \dots$.

2.Wyraz ciągu

Wyraz ciągu to pojedyncza liczba należąca do ciągu. Oznaczamy ją najczęściej jako $a_n$, gdzie $n$ oznacza numer tego wyrazu.

3.Ciąg arytmetyczny

To ciąg, w którym różnica między każdym wyrazem a poprzednim jest stała. Jeśli dla każdego $n$ zachodzi $a_{n+1}=a_n+r$, to ciąg jest arytmetyczny, a $r$ nazywamy różnicą.

4.Różnica ciągu arytmetycznego

Różnica ciągu arytmetycznego to stała liczba $r$, o którą różnią się kolejne wyrazy. Obliczamy ją ze wzoru $r=a_{n+1}-a_n$.

5.Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Jeśli pierwszy wyraz to $a_1$, a różnica to $r$, to $n$-ty wyraz ma postać $a_n=a_1+(n-1)r$. Wzór pozwala obliczyć dowolny wyraz bez wypisywania wcześniejszych.

6.Monotoniczność ciągu arytmetycznego

Ciąg arytmetyczny jest rosnący, gdy $r>0$, malejący, gdy $r<0$, a stały, gdy $r=0$. O zachowaniu całego ciągu decyduje znak różnicy.

7.Średnia arytmetyczna wyrazów sąsiednich

W ciągu arytmetycznym każdy wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich: $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$. To ważna cecha rozpoznawcza.

8.Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

Sumę pierwszych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego liczymy ze wzoru $S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}$ lub równoważnie $S_n=\frac{(2a_1+(n-1)r)\cdot n}{2}$.

9.Ciąg geometryczny

To ciąg, w którym iloraz każdego wyrazu i poprzedniego jest stały. Jeśli dla każdego $n$ zachodzi $a_{n+1}=a_n\cdot q$, to ciąg jest geometryczny, a $q$ nazywamy ilorazem.

10.Iloraz ciągu geometrycznego

Iloraz ciągu geometrycznego to stała liczba $q$, przez którą mnożymy kolejne wyrazy. Obliczamy go ze wzoru $q=\frac{a_{n+1}}{a_n}$, gdy $a_n\neq 0$.

11.Wzór ogólny ciągu geometrycznego

Jeśli pierwszy wyraz to $a_1$, a iloraz to $q$, to $n$-ty wyraz ciągu ma postać $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$. Dzięki temu można szybko znaleźć dowolny wyraz.

12.Monotoniczność ciągu geometrycznego

Monotoniczność ciągu geometrycznego zależy od znaku i wartości ilorazu $q$ oraz od pierwszego wyrazu. Na przykład dla $a_1>0$: gdy $q>1$, ciąg rośnie, a gdy $0<q<1$, maleje. Gdy $q<0$, wyrazy zwykle zmieniają znak, więc ciąg nie jest monotoniczny.

13.Średnia geometryczna wyrazów sąsiednich

W ciągu geometrycznym kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wyrazów sąsiednich: $a_n^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}$. Dla dodatnich wyrazów można też zapisać $a_n=\sqrt{a_{n-1}a_{n+1}}$.

14.Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Dla $q\neq 1$ suma pierwszych $n$ wyrazów wynosi $S_n=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}$. Gdy $q=1$, wszystkie wyrazy są równe $a_1$, więc $S_n=n\cdot a_1$.

15.Ciąg geometryczny o ilorazie $|q|<1$

Jeśli $|q|<1$, to kolejne wyrazy ciągu geometrycznego mają coraz mniejsze wartości bezwzględne i zbliżają się do zera. To ważna własność przy analizie zachowania ciągu.

16.Jak rozpoznać ciąg arytmetyczny

Sprawdź, czy różnice kolejnych wyrazów są jednakowe: $a_2-a_1$, $a_3-a_2$, $a_4-a_3$. Jeśli wszystkie są równe, ciąg jest arytmetyczny.

17.Jak rozpoznać ciąg geometryczny

Sprawdź, czy ilorazy kolejnych wyrazów są jednakowe: $\frac{a_2}{a_1}$, $\frac{a_3}{a_2}$, $\frac{a_4}{a_3}$, o ile mianowniki nie są zerem. Jeśli są równe, ciąg jest geometryczny.

18.Różnica między ciągiem arytmetycznym a geometrycznym

W ciągu arytmetycznym kolejne wyrazy powstają przez dodawanie stałej liczby $r$. W ciągu geometrycznym kolejne wyrazy powstają przez mnożenie przez stałą liczbę $q$.