Funkcja liniowa i jej wykres

1.Funkcja liniowa

Funkcja liniowa to funkcja opisana wzorem $f(x)=ax+b$, gdzie $a$ i $b$ są liczbami rzeczywistymi. Jej wykresem jest linia prosta w układzie współrzędnych.

2.Współczynnik kierunkowy $a$

Liczba $a$ we wzorze $f(x)=ax+b$ nazywa się współczynnikiem kierunkowym. Określa nachylenie prostej: gdy $a>0$, funkcja rośnie, gdy $a<0$, maleje, a gdy $a=0$, jest stała.

3.Wyraz wolny $b$

Liczba $b$ we wzorze $f(x)=ax+b$ to wyraz wolny. Wykres przecina oś $OY$ w punkcie $(0,b)$, bo dla $x=0$ mamy $f(0)=b$.

4.Wykres funkcji liniowej

Wykresem funkcji liniowej jest prosta. Aby ją narysować, wystarczy wyznaczyć co najmniej dwa punkty należące do wykresu i połączyć je linią prostą.

5.Punkt przecięcia z osią $OY$

Wykres przecina oś $OY$ w punkcie $(0,b)$, ponieważ dla $x=0$ wartość funkcji wynosi $b$. To można odczytać od razu ze wzoru $f(x)=ax+b$.

6.Miejsce zerowe funkcji liniowej

Miejsce zerowe to taka wartość $x$, dla której $f(x)=0$. Dla funkcji liniowej $ax+b=0$, więc jeśli $a\neq 0$, to miejsce zerowe wynosi $x=-\frac{b}{a}$.

7.Punkt przecięcia z osią $OX$

Punkt przecięcia wykresu z osią $OX$ ma współrzędne $(x_0,0)$, gdzie $x_0$ jest miejscem zerowym funkcji. Dla $a\neq 0$ jest to punkt $\left(-\frac{b}{a},0\right)$.

8.Funkcja rosnąca

Funkcja liniowa jest rosnąca, gdy wraz ze wzrostem argumentu $x$ rośnie też wartość funkcji. Dzieje się tak wtedy i tylko wtedy, gdy $a>0$.

9.Funkcja malejąca

Funkcja liniowa jest malejąca, gdy wraz ze wzrostem $x$ wartości funkcji maleją. Dzieje się tak wtedy i tylko wtedy, gdy $a<0$.

10.Funkcja stała

Jeśli $a=0$, to funkcja ma postać $f(x)=b$. Jej wykres jest prostą równoległą do osi $OX$, a wartość funkcji jest taka sama dla każdego $x$.

11.Dziedzina funkcji liniowej

Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, czyli $x\in \mathbb{R}$. Można do wzoru $f(x)=ax+b$ podstawiać dowolne liczby rzeczywiste.

12.Zbiór wartości funkcji liniowej

Jeśli $a\neq 0$, zbiorem wartości funkcji liniowej jest $\mathbb{R}$. Jeśli $a=0$, to zbiorem wartości jest jedna liczba: $\{b\}$.

13.Jak narysować wykres z tabeli wartości

Wybierz kilka argumentów, np. $x=-1$, $x=0$, $x=1$, oblicz odpowiadające wartości $f(x)$, zaznacz punkty w układzie współrzędnych i połącz je prostą.

14.Równoległość prostych

Dwie proste są równoległe, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy, czyli takie samo $a$. Jeśli mają przy tym różne wyrazy wolne $b$, nie mają punktów wspólnych, a przy równych $b$ pokrywają się.

15.Przecinanie się prostych

Dwie proste o różnych współczynnikach kierunkowych, czyli gdy mają różne $a$, przecinają się w jednym punkcie. Mają wtedy różne nachylenie względem osi $OX$.

16.Odczytywanie wzoru z wykresu

Aby odczytać wzór funkcji liniowej z wykresu, znajdź punkt przecięcia z osią $OY$ - to $b$ - oraz ustal nachylenie prostej, czyli współczynnik $a$. Potem zapisz wzór $f(x)=ax+b$.